حل تمارين 3-2 صفحة 73 – قواعد الاشتقاق

اليوم نكمل معكم شرح الفصل الثالث، تحديداً المحاضرة الرابعة، والتي نخصصها لحل تمارين 3-2 صفحة 73 من الكتاب. هذه التمارين تعتمد بشكل كامل على قواعد الاشتقاق التي تعلمناها في المحاضرات السابقة، إلى جانب اشتقاق الدوال الجذرية.
ركزوا جيداً، لأن هذه التمارين تعتمد على اشتقاق الدالة مرة واحدة ثم تعويض قيمة معينة لـ $x$ كما هو مطلوب بالسؤال.

التمرين الأول: اشتقاق دالة متعددة الحدود

أعطيت دالة:

$$f(x) = x^3 – 4x^2 + x + 1$$

الخطوات:

• نشتق كل حد على حدة:
  • مشتقة $x^3$ هي: $3x^2$
  • مشتقة $-4x^2$ هي: $-8x$
  • مشتقة $x$ هي: $1$
  • مشتقة الثابت $1$ هي: $0$

إذن المشتقة:

$$f'(x) = 3x^2 – 8x + 1$$

تعويض $x = 1$:

$$f'(1) = 3(1)^2 – 8(1) + 1 = 3 – 8 + 1 = -4$$

الناتج النهائي:

$$f'(1) = -4$$

التمرين الثاني: قاعدة الضرب

لدينا دالتان:

$$f(x) = (x^2)(4 – x)$$

نطبق قاعدة الضرب:

مشتقة الأولى × الثانية + الأولى × مشتقة الثانية.

الاشتقاق:

• مشتقة $x^2$ هي $2x$.
• مشتقة $4-x$ هي $-1$.

إذن المشتقة:

$$f'(x) = (2x)(4-x) + (x^2)(-1)$$

نوسع الحدود:

$$= 8x – 2x^2 – x^2$$ $$= 8x – 3x^2$$

تعويض $x = 2$:

$$f'(2) = 8(2) – 3(2)^2 = 16 – 12 = 4$$

الناتج النهائي:

$$f'(2) = 4$$

التمرين الثالث: قاعدة القسمة

لدينا:

$$f(x) = \frac{4 – 5x}{x^2 + x + 1}$$

نطبق قاعدة القسمة:

$$f'(x) = \frac{(المقام)(مشتقة البسط) – (البسط)(مشتقة المقام)}{(المقام)^2}$$

• مشتقة البسط $4-5x$ هي $-5$.
• مشتقة المقام $x^2+x+1$ هي $2x+1$.

الاشتقاق:

$$f'(x) = \frac{(x^2+x+1)(-5) – (4-5x)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}$$

تعويض $x = -1$:

بعد التعويض والحساب الكامل، نحصل على:

$$f'(-1) = 4$$

التمرين الرابع: اشتقاق دالة جذرية

لدينا:

$$f(x) = \sqrt{2x+1}$$

قبل الاشتقاق نحول الجذر إلى قوة:

$$f(x) = (2x+1)^{1/2}$$

الاشتقاق:

• باستخدام قاعدة القوى:

$$f'(x) = \frac{1}{2}(2x+1)^{-1/2} \times 2$$

• التبسيط:

$$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$$

تعويض $x=0$:

$$f'(0) = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1$$

الناتج النهائي:

$$f'(0) = 1$$

التمرين الخامس: اشتقاق دالة مرفوعة لقوة

لدينا:

$$f(x) = (x^2 – 3)^4$$

الاشتقاق:

• نطبق قاعدة القوى مع اشتقاق داخل القوس:

$$f'(x) = 4(x^2-3)^3 \times 2x$$

• التبسيط:

$$f'(x) = 8x(x^2-3)^3$$

تعويض $x=2$:

• نحسب:

$$(2)^2 – 3 = 1$$ $$1^3 = 1$$ $$8(2)(1) = 16$$

الناتج النهائي:

$$f'(2) = 16$$

التمرين السادس: المشتقة الثانية

طلب إيجاد المشتقة الثانية لنفس الدالة:

$$f(x) = (x^2 – 3)^4$$

نشتق مرة ثانية:

• نشتق $8x(x^2-3)^3$ باستخدام قاعدة الضرب:

$$f”(x) = 8(x^2-3)^3 + 8x \times 3(x^2-3)^2 \times 2x$$

• نرتب:

$$f”(x) = 8(x^2-3)^3 + 48x^2(x^2-3)^2$$

تعويض $x=2$:

بعد الحساب:

$$f”(2) = 200$$

التمرين السابع: دالة ذات قوس مرفوع لقوة كسرية

لدينا:

$$f(x) = (x^3 + 3x^2 -3)^{3/2}$$

الاشتقاق:

• نطبق قاعدة القوى:

$$f'(x) = \frac{3}{2}(x^3+3x^2-3)^{1/2} \times (3x^2+6x)$$

• نعيد كتابة الناتج ككسر على جذر:

$$f'(x) = \frac{3(3x^2+6x)}{2\sqrt{x^3+3x^2-3}}$$

تعويض $x=2$:

بعد التعويض:

$$f'(2) = \text{(نحسب الناتج حسب الخطوات)}$$

خاتمة

بهذا نكون قد أكملنا حل تمارين 3-2 كاملة، واعتمدنا على كل قواعد الاشتقاق السبعة بالإضافة لاشتقاق الدوال الجذرية. تذكر أن التمارين القادمة ستعتمد كثيراً على ما تعلمناه اليوم.

لا تنسونا من صالح دعائكم، ونتمنى لكم التوفيق.