شرح المشتقة باستخدام التعريف – للصف السادس الأدبي

بعد أن أنجزنا شرح قواعد الاشتقاق وحل الأمثلة والتمارين المهمة، ننتقل الآن إلى موضوع جديد وهو المشتقة باستخدام التعريف.
هذا الموضوع هو أساس الفصل الثالث، ويعتمد فهمه على إتقان قواعد الاشتقاق السبعة التي شرحناها سابقًا.

لاحظ أن المشتقة باستخدام التعريف تعد من أول الموضوعات في هذا الفصل، وقد يجد بعض الطلاب صعوبة فيها بسبب التفاصيل الدقيقة. لذلك اليوم سأبسط لك الفكرة إلى “شغلتين” فقط:

• إذا ضبطت الشغلتين، يكون الموضوع سهلًا جدًا.
• إذا لم تضبطهما، سيبدو لك الموضوع معقدًا.

مفهوم المشتقة باستخدام التعريف

الدوال المشمولة

المشتقة باستخدام التعريف تتناول ثلاثة أنواع من الدوال:

1. دوال خطية (كثيرة حدود): مثل $f(x) = x^2 + 1$ أو $f(x) = x^2 + 5x + 2$.
2. دوال كسرية.
3. دوال جذرية.

اليوم سنركز على الدوال الخطية (كثيرة الحدود).

الخطوتان الذهبيتان لفهم المشتقة بالتعريف

أولاً: حفظ قانون المشتقة بالتعريف

المشتقة بالتعريف تعرف كما يلي:

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) – f(x)}{\Delta x}$$

ملاحظة مهمة:

• يجب حفظ القانون حرفيًا.
• اكتب القانون خمس مرات أو أكثر حتى تتقنه.

ثانياً: التعويض الصحيح داخل القانون

عندما يطلب منك تعويض $f(x+\Delta x)$:

• خذ الدالة الأصلية.
• أينما ترى $x$، عوض مكانها $(x+\Delta x)$.

مثلاً:

• إذا كانت الدالة $f(x) = 3x$، فتصبح $f(x+\Delta x) = 3(x+\Delta x)$.
• إذا كانت $f(x) = \sqrt{x+1}$، فتصبح $f(x+\Delta x) = \sqrt{(x+\Delta x)+1}$.

التعويض الدقيق يحل 80% من المسألة!

ملاحظات أساسية قبل حل الأمثلة

1. فهم القوس: عندما ترى $(x+\Delta x)^2$، يجب أن تستخدم قانون مربع حدين:

   $$(x+\Delta x)^2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2$$

2. التعامل مع الطرح:
   • عندما تطرح الدالتين في البسط، يجب توزيع الإشارة السالبة على جميع الحدود.
3. الاختصار قبل التعويض:
   • لا تعوض مباشرة $\Delta x = 0$ إلا بعد اختصار $\Delta x$ من البسط والمقام.

خطوات حل أي سؤال مشتقة باستخدام التعريف

1. كتابة قانون المشتقة.
2. التعويض بـ $f(x+\Delta x)$ و $f(x)$.
3. تبسيط البسط.
4. اختصار العوامل المشتركة مع $\Delta x$.
5. حذف النهاية (اللمت) وتعويض $\Delta x = 0$.

أمثلة محلولة

المثال الأول: إيجاد مشتقة $f(x) = 3x$ باستخدام التعريف

المطلوب:
اوجد المشتقة الأولى باستخدام التعريف.

الحل:

1. كتابة القانون:

   $$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) – f(x)}{\Delta x}$$

2. التعويض:
   • $f(x+\Delta x) = 3(x+\Delta x) = 3x + 3\Delta x$
   • $f(x) = 3x$
3. التبسيط:

   $$f(x+\Delta x) – f(x) = (3x + 3\Delta x) – (3x) = 3\Delta x$$

4. التعويض داخل الكسر:

   $$\frac{3\Delta x}{\Delta x}$$

5. الاختصار:
   • $\Delta x$ يختصر مع $\Delta x$.
6. النتيجة:

   $$f'(x) = 3$$

المثال الثاني: إيجاد مشتقة $f(x) = x^2$ باستخدام التعريف

المطلوب:
اوجد المشتقة الأولى باستخدام التعريف.

الحل:

1. كتابة القانون:

   $$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) – f(x)}{\Delta x}$$

2. التعويض:
   • $f(x+\Delta x) = (x+\Delta x)^2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2$
   • $f(x) = x^2$
3. التبسيط:

   $$f(x+\Delta x) – f(x) = (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) – (x^2) = 2x\Delta x + (\Delta x)^2$$

4. التعويض داخل الكسر:

   $$\frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x}$$

5. استخراج عامل مشترك:
   • سحب $\Delta x$ عامل مشترك:

     $$\Delta x(2x + \Delta x)$$

6. الاختصار:
   • $\Delta x$ مع $\Delta x$ تختصر.
7. التعويض $\Delta x = 0$:
   • يبقى $2x$.
8. النتيجة:

   $$f'(x) = 2x$$

المثال الثالث: مشتقة $f(x) = x^2 + 5x$ باستخدام التعريف وعند $x = 0$

المطلوب:
اوجد المشتقة الأولى عند $x=0$.

الحل:

• كما في المثال الثاني، نحصل على:

  $$f'(x) = 2x + 5$$

• نعوض $x=0$:

  $$f'(0) = 2(0) + 5 = 5$$

نصيحة ختامية

لكي تتقن المشتقة باستخدام التعريف:

• احفظ القانون جيدًا.
• تدرب كثيرًا على التعويض.
• راجع توزيع الإشارات بدقة.
• لا تعوض $\Delta x = 0$ إلا بعد الاختصار!

مع التدريب المستمر ستجد الموضوع بسيط وسهل إن شاء الله.