تكامل قسمة دالتين – الحالة الخامسة من التكامل

أهلاً وسهلاً بكم طلابي الأعزاء، طلاب الصف السادس الأدبي.
وصلنا اليوم إلى المحاضرة الخامسة من الفصل الرابع، وهي الحالة الأخيرة من موضوع التكامل، التي تتمثل في:
كيف نكامل قسمة دالتين؟

ملاحظة أولى

اليوم، فنحن نتحدث عن حالة خاصة: المقام أسه واحد فقط.

تعريف مهم: متى لا نصعد المقام إلى البسط؟

• إذا كانت الدالة الكسرية أس المقام = 1،
• ممنوع صعود المقام إلى البسط بتحويل الأس إلى سالب،
• والسبب: لو صعدنا المقام، ستؤدي العملية إلى قسمة على صفر أثناء التكامل، مما ينتج كمية غير معرفة.

مثال توضيحي:

$$\int \frac{1}{x} \, dx$$

• لا نصعد $x$ إلى البسط.
• لأن الأس $1$، والصعود سيجعل الأس صفرًا عند إضافة واحد، وهذا ممنوع.

خطوات حل التكامل عندما يكون أس المقام واحد

لحل هذه الحالات، نتبع ثلاث خطوات رئيسية:

1. تحليل البسط والمقام (باستخدام طرق التحليل المعروفة مثل العامل المشترك، الفرق بين مربعين، الفرق أو مجموع مكعبين).
2. اختصار الحدود المتشابهة.
3. تكامل الناتج النهائي بطريقة الدوال الخطية أو التوزيع.

طرق التحليل التي نحتاجها

• العامل المشترك: سحب عامل مشترك.
• الفرق بين مربعين: (أ² – ب²) = (أ + ب)(أ – ب).
• مجموع أو فرق مكعبين: (أ³ ± ب³) = (أ ± ب)(أ² ∓ أب + ب²).
• التجربة: تفكيك ثلاث حدود إلى قوسين بالتجريب.

✏️ ملاحظة: إذا لم تحفظ هذه الطرق، يجب مراجعتها قبل الاستمرار.
وضعت لكم رابط فيديو شرح طرق التحليل في وصف المحاضرة.

أمثلة محلولة على تكامل قسمة دالتين

المثال الأول

$$\int \frac{x^2-4}{x+2} \, dx$$

• تحليل البسط: فرق بين مربعين → $(x-2)(x+2)$.
• تحليل المقام: لا يحتاج تحليل (يبقى كما هو).
• اختصار: $(x+2)$ مع $(x+2)$ يختصر.
• الناتج:

$$\int (x-2) \, dx$$

• تكامل مباشر:
  • $\int x \, dx = \frac{x^2}{2}$
  • $\int -2 \, dx = -2x$
• النتيجة النهائية:

$$\frac{x^2}{2} – 2x + C$$

المثال الثاني

$$\int \frac{x^2+9x+18}{3x-9} \, dx$$

• تحليل البسط: تجربة → $(x+6)(x+3)$.
• تحليل المقام: العامل المشترك 3 → $3(x-3)$.
• لا اختصار مباشر، فنحلل أكثر إذا لزم الأمر.

ملاحظة مهمة: العدد المضروب بالبسط أو المقام (مثل 3) يعتبر ثابت ونخرجه من التكامل.

ملاحظة مهمة حول الثوابت

عندما يكون هناك:

• عدد فقط أو
• عدد مضروب في حرف في البسط أو المقام

فإنه ثابت لا يؤثر على عملية التكامل.
بالتالي:

• نخرجه خارج رمز التكامل.
• نعالجه كعامل مشترك.

أمثلة أخرى مع تفصيل التحليل والاختصار

المثال الثالث

$$\int \frac{x^3-64}{2x-8} \, dx$$

• تحليل البسط: فرق بين مكعبين → $(x-4)(x^2+4x+16)$.
• تحليل المقام: العامل المشترك 2 → $2(x-4)$.
• اختصار: $(x-4)$ مع $(x-4)$ يختصر.
• يبقى:

$$\frac{1}{2}\int (x^2+4x+16) \, dx$$

• تكامل مباشر:
  • $\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$
  • $\int 4x \, dx = 2x^2$
  • $\int 16 \, dx = 16x$
• النتيجة النهائية:

$$\frac{1}{2} \left( \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 16x \right) + C$$

التعامل مع حاصل ضرب دالتين بعد الاختصار

إذا تبقى عندك ناتج يحتوي على ضرب دالتين مثل:

$$x(x^2+2x+4)$$

• استخدم خاصية التوزيع:
  • $x \times x^2 = x^3$
  • $x \times 2x = 2x^2$
  • $x \times 4 = 4x$

ثم تكامل كل حد بشكل منفصل.

ملاحظات مهمة أثناء الحل

• أي كسر مقامه أسه واحد → لا ترفعه للبسط.
• إذا لم يظهر اختصار بعد التحليل، أكمل التحليل بطرق أخرى مثل “فرق مكعبين”.
• في حالة وجود أكثر من حد على المقام أو البسط استخدم التجزئة قبل التكامل.

مراجعة أخيرة

✅ في حالة أس المقام واحد:

• لا نصعد إلى البسط، بل نحلل ونختصر ثم نكامل.

✅ جميع الدوال الخطية أو دوال من الدرجة الأولى والثانية بعد التبسيط → تكامل مباشر.

✅ الثوابت تخرج من رمز التكامل.

✅ في حالة وجود حاصل ضرب دالتين → نستخدم التوزيع ثم نكامل.

خلاصة الواجبات الموصى بها

• حل تمارين صفحة 116 كاملة.
• مراجعة التكامل غير المحدد بجميع حالاته الخمسة.
• مراجعة قواعد التحليل.