حل تمارين الغاية (Limit) – صفحة 48 – كل ما يأتي بالتفصيل

التمرين الأول:

احسب الغاية:

$$\lim_{{x \to -1}} (x^3 + 2x + 3)$$

الحل: نعوض مباشرة:

$$(-1)^3 + 2(-1) + 3 = -1 -2 + 3 = 0$$

إذن:

$$\lim_{{x \to -1}} (x^3 + 2x + 3) = 0$$

التمرين الثاني:

احسب الغاية:

$$\lim_{{x \to 0}} \frac{x^4 + 1}{x+1}$$

الحل: نعوض مباشرة:

$$\frac{0^4 + 1}{0 + 1} = \frac{1}{1} = 1$$

إذن:

$$\lim_{{x \to 0}} \frac{x^4 + 1}{x+1} = 1$$

التمرين الثالث:

احسب الغاية:

$$\lim_{{x \to -2}} \frac{x+2x}{x^2 – x -6}$$

الحل:

أولاً نبسط البسط:

$$x + 2x = 3x$$

إذن تصبح المسألة:

$$\lim_{{x \to -2}} \frac{3x}{x^2 – x -6}$$

نعوض مباشرة:

$$\text{البسط} = 3(-2) = -6$$ $$\text{المقام} = (-2)^2 – (-2) -6 = 4 +2 -6 = 0$$

الحصول على صفر في المقام يعني أنه يجب علينا التحليل: نحلل المقام:

$$x^2 – x -6 = (x-3)(x+2)$$

إذن تصبح المسألة:

$$\lim_{{x \to -2}} \frac{3x}{(x-3)(x+2)}$$

نلاحظ أن $x+2$ موجود في المقام ولا يوجد اختصار مباشر، إذًا نحتاج أن نفهم السلوك قرب $-2$. بالتعويض نجد أن:

• قريب من $-2$ البسط $3(-2) = -6$
• المقام يقترب من صفر ولكن حسب الاتجاه (من اليمين أو اليسار) نحدد النتيجة.

عموماً هنا نحصل على نهاية غير موجودة (∞ أو -∞ حسب الاقتراب).

التمرين الرابع:

احسب الغاية:

$$\lim_{{x \to 1}} \frac{x^4 -1}{x-1}$$

الحل:

نلاحظ أن:

$$x^4-1 = (x^2-1)(x^2+1)$$

وأيضاً:

$$x^2-1 = (x-1)(x+1)$$

بالتعويض:

$$x^4-1 = (x-1)(x+1)(x^2+1)$$

نختصر $x-1$ مع $x-1$ في المقام:

$$\lim_{{x \to 1}} (x+1)(x^2+1)$$

نعوض مباشرة:

$$(1+1)(1^2+1) = 2\times2 = 4$$

إذن:

$$\lim_{{x \to 1}} \frac{x^4-1}{x-1} = 4$$

التمرين الخامس:

احسب الغاية:

$$\lim_{{x \to 3}} \frac{x^3 – 27}{x^2 + 2x -15}$$

الحل:

نلاحظ أن:

$$x^3-27 = (x-3)(x^2+3x+9)$$

ونحلل المقام:

$$x^2+2x-15 = (x+5)(x-3)$$

بالتبسيط:

$$\frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{(x-3)(x+5)}$$

نختصر $x-3$ مع $x-3$:

$$\lim_{{x \to 3}} \frac{x^2+3x+9}{x+5}$$

نعوض مباشرة:

$$\frac{3^2 + 3(3) + 9}{3+5} = \frac{9+9+9}{8} = \frac{27}{8}$$

إذن:

$$\lim_{{x \to 3}} \frac{x^3-27}{x^2+2x-15} = \frac{27}{8}$$

التمرين السابع:

احسب الغاية:

$$\lim_{{x \to 1}} \frac{x^2+7x-8x^2}{3x^2-3}$$

الحل:

نبسط البسط:

$$x^2 + 7x – 8x^2 = -7x^2 + 7x$$

والمقام:

$$3(x^2-1) = 3(x-1)(x+1)$$

نأخذ عامل مشترك في البسط:

$$-7x(x-1)$$

تصبح المسألة:

$$\lim_{{x \to 1}} \frac{-7x(x-1)}{3(x-1)(x+1)}$$

نختصر $x-1$ مع $x-1$:

$$\lim_{{x \to 1}} \frac{-7x}{3(x+1)}$$

نعوض مباشرة:

$$\frac{-7(1)}{3(1+1)} = \frac{-7}{6}$$

إذن:

$$\lim_{{x \to 1}} \frac{x^2+7x-8x^2}{3x^2-3} = \frac{-7}{6}$$

التمرين الثامن:

احسب الغاية:

$$\lim_{{x \to -2}} \frac{x^3+8}{x^4-16}$$

الحل:

نحلل:

$$x^3+8 = (x+2)(x^2-2x+4)$$ $$x^4-16 = (x^2-4)(x^2+4) = (x-2)(x+2)(x^2+4)$$

نختصر $x+2$ مع $x+2$:

$$\lim_{{x \to -2}} \frac{x^2-2x+4}{(x-2)(x^2+4)}$$

نعوض مباشرة: البسط:

$$(-2)^2 – 2(-2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12$$

المقام:

$$(-2-2)((-2)^2+4) = (-4)(4+4) = (-4)(8) = -32$$

الناتج:

$$\frac{12}{-32} = \frac{-3}{8}$$

إذن:

$$\lim_{{x \to -2}} \frac{x^3+8}{x^4-16} = \frac{-3}{8}$$

التمرين التاسع:

احسب الغاية:

$$\lim_{{x \to 1}} \frac{x^2-1}{\sqrt{x}-1}$$

الحل:

نلاحظ أن البسط فرق مربعين:

$$x^2-1 = (x-1)(x+1)$$

نستخدم ضرب المرافق للبسط والمقام: نضرب البسط والمقام بـ$\sqrt{x}+1$:

$$\frac{(x-1)(x+1)}{(\sqrt{x}-1)} \times \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}$$

نحسب المقام:

$$(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1) = x-1$$

تصبح المسألة:

$$\lim_{{x \to 1}} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}$$

نختصر $x-1$:

$$\lim_{{x \to 1}} (x+1)$$

نعوض مباشرة:

$$1+1=2$$

إذن:

$$\lim_{{x \to 1}} \frac{x^2-1}{\sqrt{x}-1} = 2$$