السلام عليكم ورحمة الله وبركاته طلاب الصف السادس الأدبي. اليوم نكمل معكم حل تمارين الغاية، وتحديدًا نحل أسئلة (2-1) من التمارين. سنعمل بالتفصيل على الأسئلة مع الحفاظ على الترتيب والدقة في الحلول.

السؤال الثاني: إيجاد قيمة (أي)

نص السؤال:
إذا كانت غاية الدالة

$$\lim_{{x \to 4}} \frac{x^2 – 2x + 6}{x+3} = 3a – 4$$

جد قيمة $a$، حيث $a$ عدد حقيقي.

طريقة الحل:

• ننزل الغاية كما هي دون تعديل:

  $$\lim_{{x \to 4}} \frac{x^2 – 2x + 6}{x+3}$$

• نعوض مباشرةً $x = 4$:
  • في البسط: $4^2 – 2(4) + 6 = 16 – 8 + 6 = 14$
  • في المقام: $4 + 3 = 7$
• إذن قيمة الغاية هي:

  $$\frac{14}{7} = 2$$

• وبالتالي:

  $$2 = 3a – 4$$

• لحساب $a$:
  • نجمع 4 للطرفين:

    $$2 + 4 = 3a$$ $$6 = 3a$$

  • نقسم على 3:

    $$a = 2$$

الإجابة:
$a = 2$

السؤال الثالث: إيجاد (a)

نص السؤال:
أوجد $a$ بحيث تكون الغاية:

$$\lim_{{x \to a}} \frac{x^2 – a^2}{x-a} = 8$$

طريقة الحل:

• لاحظ أن البسط هو فرق مربعين:

  $$x^2 – a^2 = (x-a)(x+a)$$

• إذن الدالة تصبح:

  $$\frac{(x-a)(x+a)}{x-a}$$

• نختصر $x-a$ مع $x-a$، فتصبح:

  $$\lim_{{x \to a}} (x+a)$$

• بالتعويض المباشر:

  $$a + a = 2a$$

• إذن:

  $$2a = 8$$

• نقسم على 2:

  $$a = 4$$

الإجابة:
$a = 4$

السؤال الرابع: إيجاد (a) و(b) باستخدام معادلتين

نص السؤال:
لدينا الدالة:

$$f(x) = ax^2 + bx$$

ومعطي أن:

• $$\lim_{{x \to 1}} f(x) = 5$$

]

• $$\lim_{{x \to -2}} f(x) = 8$$

]

طريقة الحل:

• المعلومة الأولى: بالتعويض $x=1$:

  $$a(1)^2 + b(1) = a + b = 5$$معادلة (1): $a + b = 5$

• المعلومة الثانية: بالتعويض $x=-2$:

  $$a(-2)^2 + b(-2) = 4a – 2b = 8$$معادلة (2): $4a – 2b = 8$

• لحل النظام:
  • نضرب المعادلة (1) × 2:

    $$2a + 2b = 10$$

  • نجمعها مع (2):

    $$(4a – 2b) + (2a + 2b) = 8 + 10$$ $$6a = 18$$ $$a = 3$$

  • نعوض $a=3$ في (1):

    $$3 + b = 5$$ $$b = 2$$

الإجابة:
$a = 3$, $b = 2$

السؤال الخامس: هل الغاية موجودة؟

نص السؤال:
لدينا دالة مشطرة وعند الحد الفاصل $x=2$، نحتاج لفحص غاية اليمين ويسار.

طريقة الحل:

• غاية اليمين:
  • الدالة: $x^2 – 3$
  • بالتعويض $x=2$:

    $$2^2 – 3 = 4 – 3 = 1$$

• غاية اليسار:
  • الدالة: $2 – 2x$
  • بالتعويض $x=2$:

    $$2 – 2(2) = 2 – 4 = -2$$

النتيجة:
لأن $1 \neq -2$، الغاية غير موجودة عند $x=2$.

السؤال السادس: حساب الغاية

نص السؤال:
دالة مشطرة، المطلوب حساب غاية اليمين ويسار عند $x=2$.

طريقة الحل:

• غاية اليمين:
  • الدالة: $x^2 + 1$
  • بالتعويض $x=2$:

    $$4 + 1 = 5$$

• غاية اليسار:
  • الدالة: $2 – x$
  • بالتعويض $x=2$:

    $$2 – 2 = 0$$

النتيجة:
بما أن $5 \neq 0$، الغاية غير موجودة عند $x=2$.

السؤال السابع: إيجاد قيمة (a)

نص السؤال:
لدينا دالة مشطرة وعند $x=-1$، مطلوب إيجاد قيمة $a$ بحيث تكون الغاية موجودة.

طريقة الحل:

• الغاية موجودة → الغاية من اليمين = الغاية من اليسار.
• الدالتين:
  • دالة اليمين: $3 – x^2$
  • دالة اليسار: $a + 2x$
• بالتعويض:
  • دالة اليمين:

    $$3 – (-1)^2 = 3 – 1 = 2$$

  • دالة اليسار:

    $$a + 2(-1) = a – 2$$

• مساواة الطرفين:

  $$a – 2 = 2$$ $$a = 4$$

الإجابة:
$a = 4$

السؤال الثامن: إيجاد (a) و(b)

نص السؤال:
لدينا دالة مشطرة:

• عندما $x \geq 3$: $3x + a$
• عندما $x < 3$: $x^2 – b$

معطى أن:

• الغاية موجودة.
• $f(\sqrt{2}) = 5$.

طريقة الحل:

• بما أن $\sqrt{2} < 3$، نعوض بالدالة $x^2 – b$:

  $$(\sqrt{2})^2 – b = 5$$ $$2 – b = 5$$ $$b = -3$$

• لحساب $a$، الغاية موجودة:
  • غاية اليمين = غاية اليسار عند $x=3$.
  • دالة اليمين:

    $$3(3) + a = 9 + a$$

  • دالة اليسار:

    $$(3)^2 – b = 9 – (-3) = 12$$

• مساواة الغايتين:

  $$9 + a = 12$$ $$a = 3$$

الإجابة:
$a = 3$, $b = -3$

الخاتمة

بذلك نكون قد أكملنا حل تمارين الغاية (الجزء 2-1) للصف السادس الأدبي بشكل مفصل ومنهجي. ننصح بمراجعة الأمثلة باستمرار لضمان فهم طرق الحل المختلفة.