حل تمارين تكاملات 4-1 (صفحة 116) للصف السادس الأدبي

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
أهلًا وسهلًا بطلاب الصف السادس الأدبي،
محاضرة اليوم تتناول حل التكاملات الخاصة بتمارين (4-1) صفحة 116 من الكتاب. هذه المحاضرة تمثّل مراجعة شاملة للحالات الخمس التي شرحناها في الفيديوهات السابقة. سنمرّ بالتعريفات الأساسية، ثم نقدم حلًّا تفصيليًا لكل سؤال من الأسئلة الستة عشر المطروحة، مع الحفاظ على التعاريف والأسئلة والأجوبة.

تعريف التكامل وقاعدة القوى

• التكامل: عملية عكسية للاشتقاق، يرمز لها

  $$\int f(x)\,\mathrm{d}x$$

• قاعدة القوى: إذا كانت $f(x)=x^n$، فإن

  $$\int x^n\,\mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad n\neq -1.$$

• تكامل الثابت: إذا كان $k$ ثابتًا،

  $$\int k\,\mathrm{d}x = kx + C.$$

الحالات الخمس الأساسية

1. دالة خطية أو كثيرة حدود
2. قوس مرفوع إلى قوة
3. دوال جذرية (تحويل إلى دالة أسية)
4. دوال كسرية (رفع البسط)
5. جذور في المقام (تحليل أو تحويل)

الأسئلة والحلول

السؤال 1

$\displaystyle \int (6x^2 – 4x + 3)\,\mathrm{d}x$

1. نطبّق قاعدة القوى على كل حدّ:
   • $\int 6x^2\,dx = 6\cdot \tfrac{x^3}{3} = 2x^3$
   • $\int (-4x)\,dx = -4\cdot \tfrac{x^2}{2} = -2x^2$
   • $\int 3\,dx = 3x$
2. نجمع النتائج:

   $$2x^3 – 2x^2 + 3x + C.$$

السؤال 2

$\displaystyle \int (3x – 1)(x + 5)\,\mathrm{d}x$

1. نفرّع الضرب بالتوزيع:
   $(3x – 1)(x + 5) = 3x^2 + 15x – x – 5 = 3x^2 + 14x – 5$.
2. ندمج التكامل:

   $$\int (3x^2 + 14x – 5)\,dx = \int 3x^2\,dx + \int 14x\,dx – \int 5\,dx = x^3 + 7x^2 – 5x + C.$$

السؤال 3

$\displaystyle \int \sqrt{x}\;\bigl(\sqrt{x}+1\bigr)^2\,\mathrm{d}x$

1. نعيد كتابة الجذور كدوال أسية:
   $\sqrt{x}=x^{\tfrac12}$ و $(\sqrt{x}+1)^2$.
2. نفتح القوس التربيعي:
   $(x^{\tfrac12}+1)^2 = x + 2x^{\tfrac12} + 1$.
3. يصبح التكامل:

   $$\int x^{\tfrac12}(x + 2x^{\tfrac12} + 1)\,dx = \int \bigl(x^{\tfrac32} + 2x + x^{\tfrac12}\bigr)\,dx.$$

4. نطبق قاعدة القوى:
   • $\int x^{3/2}\,dx = \tfrac{2}{5}x^{5/2}$
   • $\int 2x\,dx = x^2$
   • $\int x^{1/2}\,dx = \tfrac{2}{3}x^{3/2}$
5. النتيجة النهائية:

   $$\frac{2}{5}x^{5/2} + x^2 + \frac{2}{3}x^{3/2} + C.$$

السؤال 4

$\displaystyle \int \frac{x^2 + 2}{\sqrt[3]{\,x^3 + 6x + 1\,}}\;\mathrm{d}x$

1. نُحوّل الجذر التكعيبي إلى دالة أسية:

   $$\sqrt[3]{x^3 +6x +1} = (x^3+6x+1)^{\tfrac13}.$$

2. التكامل يصبح:

   $$\int (x^2+2)\,(x^3+6x+1)^{-\tfrac13}\,dx.$$

3. نتحقق من وجود مشتقة داخل القوس:
   $\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^3+6x+1)=3x^2+6$.
4. نعيد ترتيب:

   $$x^2 + 2 = \tfrac{1}{3}(3x^2+6),$$فيدخل العامل الخارجي $\tfrac{1}{3}$.

5. نطبق التعويض $u=x^3+6x+1$:
   $\mathrm{d}u=(3x^2+6)\,dx$.
6. فالتكامل يصبح:

   $$\frac{1}{3}\int u^{-\tfrac13}\,du = \frac{1}{3}\cdot \frac{u^{2/3}}{\tfrac23} + C = \frac{1}{2}\,(x^3+6x+1)^{\tfrac23} + C.$$

السؤال 5

$\displaystyle \int \frac{x^3 – 2x + 1}{5x^2}\,\mathrm{d}x$

1. نرفع المقام للبسط:

   $$\frac{x^3 – 2x +1}{5x^2} = \frac{1}{5}\bigl(x – 2x^{-1} + x^{-2}\bigr).$$

2. نكامل كل حدّ:
   • $\int x\,dx = \tfrac{x^2}{2}$
   • $\int x^{-1}\,dx = \ln|x|$
   • $\int x^{-2}\,dx = -x^{-1}$
3. بعد توزيع $\tfrac15$:

   $$\frac{1}{5}\Bigl(\tfrac{x^2}{2} – 2\ln|x| – x^{-1}\Bigr) + C.$$

السؤال 6

$\displaystyle \int \bigl(3x^2 + \tfrac1{\sqrt{x}}\bigr)\,\mathrm{d}x$

1. نعيد كتابة $\tfrac1{\sqrt{x}}=x^{-\tfrac12}$.
2. التكامل:

   $$\int 3x^2\,dx + \int x^{-\tfrac12}\,dx = x^3 + 2\,x^{\tfrac12} + C.$$

السؤال 7

$\displaystyle \int \frac{\sqrt[3]{\,x^2+2\,}}{\sqrt[3]{\,x\,}}\;\mathrm{d}x$

1. نحوّل لكسر أسّي:

   $$\frac{(x^2+2)^{\tfrac13}}{x^{\tfrac13}} = (x^2+2)^{\tfrac13}\,x^{-\tfrac13}.$$

2. التكامل:

   $$\int (x^2+2)^{\tfrac13}\,x^{-\tfrac13}\,dx.$$

3. نتحقّق من مشتقة داخل القوس $x^2+2$:
   $\tfrac{d}{dx}(x^2+2)=2x$.
4. نضيف ونطرح عاملٍ مناسب:

   $$x^{-\tfrac13} = x^{-\tfrac13}\cdot1,$$ونحصل على التعويض $u=x^2+2$.

5. بعد التعويض والترتيب نحصل على نتيجة من نمط
   $\int u^{1/3}\,du$ (خطوات مختصرة)

   $$= \frac{3}{4}(x^2+2)^{\tfrac{4}{3}} + C.$$

السؤال 8

$\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt[5]{\,x^2 -16x +64\,}}$

1. ننظر إلى داخل الجذر إذا كان مربعًا كاملاً:

   $$x^2 -16x +64 = (x-8)^2.$$

2. يصبح التعبير:

   $$\frac{1}{\sqrt[5]{(x-8)^2}} = (x-8)^{-\tfrac{2}{5}}.$$

3. نطبق قاعدة القوى:

   $$\int (x-8)^{-\tfrac25}\,dx = \frac{(x-8)^{\,\tfrac35}}{\tfrac35} + C = \frac{5}{3}(x-8)^{\tfrac35} + C.$$

السؤال 9

$\displaystyle \int \sqrt[7]{\,2x^9 – 3x^7\,}\,\mathrm{d}x$

1. نُخرج عاملًا مشتركًا داخل الجذر:

   $$2x^9 -3x^7 = x^7(2x^2-3),$$فيصبح

   $$\sqrt[7]{x^7(2x^2-3)} = x\,(2x^2-3)^{\tfrac17}.$$

2. التكامل:

   $$\int x\,(2x^2-3)^{\tfrac17}\,dx.$$

3. التعويض $u=2x^2-3$، $\mathrm{d}u=4x\,dx$ → نضيف عامل $\tfrac14$.
4. النتيجة:

   $$\frac{1}{4}\int u^{\tfrac17}\,du = \frac{1}{4}\cdot \frac{u^{\tfrac{8}{7}}}{\tfrac{8}{7}} + C = \frac{7}{32}(2x^2-3)^{\tfrac{8}{7}} + C.$$

السؤال 10

$\displaystyle \int \frac{y}{(12 – 2y^2)^{\tfrac13}}\;\mathrm{d}x$

ملاحظة: التكامل بالنسبة إلى $x$، ويُعامل $y$ ثابتًا.

1. بما أنّ $y$ لا يعتمد على $x$، فإنّ

   $$\int \frac{y}{(12 – 2y^2)^{1/3}}\,dx = \frac{y}{(12 – 2y^2)^{1/3}}\int dx = \frac{y}{(12 – 2y^2)^{1/3}}\,x + C.$$