الاستمرارية في الدوال – الصف السادس الأدبي

مفهوم الاستمرارية

الاستمرارية ببساطة تعني أن الدالة لا تحتوي على “فجوات” أو “انقطاعات” عند نقطة معينة.
عند دراسة الاستمرارية، نحتاج أولًا إلى معرفة أنواع الدوال التي نبحث فيها الاستمرارية:

• الدوال الخطية وكثيرة الحدود.
• الدوال الكسرية (التي تحتوي على متغير بالمقام).

أنواع الدوال

1. دالة خطية: مثل $f(x) = 3x + 2$.
2. دالة كثيرة حدود: مثل $f(x) = x^3 – x^2 + 5$.
3. دالة كسرية: مثل $f(x) = \frac{1}{x-1}$، حيث يوجد متغير في المقام.

شروط الاستمرارية

لكي تكون الدالة مستمرة عند نقطة معينة، يجب أن تتحقق ثلاث شروط:

1. الدالة معرفة عند هذه النقطة (أي يمكن تعويض قيمة $x$ في الدالة دون مشاكل).
2. الغاية موجودة عند هذه النقطة.
3. الدالة تساوي الغاية عند هذه النقطة.

ملاحظة مهمة:

• الغاية تعني $\lim_{x \to a} f(x)$، أي عندما يقترب $x$ من القيمة المعطاة.
• يجب أن تكون النتيجة نفسها عند التعويض وفي الغاية.

أمثلة على الدوال الخطية وكثيرة الحدود

مثال 1

هل الدالة $f(x) = x^2 + 3$ مستمرة عند $x = 1$؟

الحل:

• نوع الدالة: دالة كثيرة حدود ⇒ مستمرة طبيعيًا.
• أوسع مجال للدوال الخطية وكثيرة الحدود هو $\mathbb{R}$ (كل الأعداد الحقيقية).
• أول شرط: نعوض $x = 1$ في الدالة:

  $$f(1) = 1^2 + 3 = 4$$

• ثاني شرط: نحسب الغاية:

  $$\lim_{x \to 1} (x^2 + 3) = 1^2 + 3 = 4$$

• ثالث شرط: نلاحظ أن:

  $$f(1) = \lim_{x \to 1} f(x)$$إذًا الدالة مستمرة عند $x = 1$.

مثال 2

هل الدالة $f(x) = x^3 – 2x$ مستمرة عند $x = 2$؟

الحل:

• الدالة كثيرة حدود ⇒ مستمرة على $\mathbb{R}$.
• نعوض:

  $$f(2) = 2^3 – 2(2) = 8 – 4 = 4$$

• نحسب الغاية:

  $$\lim_{x \to 2} (x^3 – 2x) = 2^3 – 2(2) = 4$$

• بما أن الدالة تساوي الغاية، إذًا الدالة مستمرة عند $x = 2$.

ملاحظة عامة

كل الدوال الخطية وكثيرة الحدود في منهجكم مستمرة، ومجالها $\mathbb{R}$.

الاستمرارية في الدوال الكسرية

الفرق مع الدوال الكسرية

في الدوال الكسرية، نحتاج إلى الانتباه أن المقام لا يصبح صفرًا، لأن ذلك يسبب عدم تعريف الدالة.

كيفية استخراج أوسع مجال لدالة كسرية

• نأخذ المقام ونساويه بالصفر.
• نحسب قيم $x$ التي تجعل المقام صفر.
• نكتب المجال: كل الأعداد الحقيقية ما عدا هذه القيم.

مثال 3

أوجد أوسع مجال للدالة $f(x) = \frac{1}{x-1}$.

الحل:

• نأخذ المقام: $x-1=0$ ⇒ $x=1$.
• إذًا أوسع مجال هو: كل الأعداد الحقيقية ما عدا $1$.

مثال 4

هل الدالة $f(x) = \frac{2x+1}{x+3}$ مستمرة عند $x=2$؟

الحل:

• المقام $x+3 \neq 0$ عند $x=2$، إذن لا توجد مشكلة.
• نعوض:

  $$f(2) = \frac{2(2)+1}{2+3} = \frac{5}{5} = 1$$

• نحسب الغاية:

  $$\lim_{x \to 2} \frac{2x+1}{x+3} = 1$$

• بما أن الدالة = الغاية، فإن الدالة مستمرة عند $x=2$.

ملاحظة مهمة عن الدوال الكسرية

• إذا كان المقام يحتوي على مجموع مربعين مثل $x^2 + 1$، فإن المقام لا ينعدم أبدًا لأي عدد حقيقي، وبالتالي يكون المجال هو كل $\mathbb{R}$.

مثال 5

هل الدالة $f(x) = \frac{x+4}{x^2+2}$ مستمرة عند $x=1$؟

الحل:

• الدالة كسرية لكن المقام $x^2+2$ (مجموع مربعين) لا ينعدم.
• أوسع مجال: $\mathbb{R}$.
• نعوض:

  $$f(1) = \frac{1+4}{1^2+2} = \frac{5}{3}$$

• نحسب الغاية:

  $$\lim_{x \to 1} \frac{x+4}{x^2+2} = \frac{5}{3}$$

• الدالة تساوي الغاية ⇒ الدالة مستمرة عند $x=1$.

أسئلة إضافية للطلاب

1. حل المثال التالي:
   

   أوجد هل الدالة $f(x) = x^2$ مستمرة عند $x=a$؟

2. تطبيق آخر:
   

   أوجد استمرارية الدالة $f(x) = \frac{x^2}{x^2+1}$ في مجالها.

ملاحظات ختامية

• إذا ذُكر في السؤال (ابحث الاستمرارية في مجالها)، يجب فرض $x = a$ بحيث $a$ ينتمي إلى $\mathbb{R}$.
• جميع الدوال كثيرة الحدود والخطية مستمرة في كامل مجالها.
• في الدوال الكسرية، انتبه لعدم السماح للمقام أن يكون صفرًا.

خلاصة خطوات حل أي سؤال استمرارية:

1. حدد نوع الدالة (خطية – كثيرة حدود – كسرية).
2. استخرج أوسع مجال.
3. تحقق من الشروط الثلاثة:
   • الدالة معرفة.
   • الغاية موجودة.
   • الدالة تساوي الغاية.