تطبيقات التكامل في الاقتصاد – رياضيات السادس الادبي

في هذه المحاضرة، سنتعرّف على تطبيقات التكامل في الاقتصاد، ونركز على مفهومي دالة الإيراد ودالة التكلفة، وكيفية استخدام التكامل لاستنتاج:

• دالة الإيراد الكلي من دالة الإيراد الحدي
• دالة السعر من دالة الإيراد الكلي
• دالة التكلفة الكلية من دالة التكلفة الحدية

سنسير خطوة بخطوة مع تعريف كل دالة، ثم نعرض أمثلة تطبيقية محلولة بالتفصيل. في نهاية المحاضرة، تجدون قائمة بالكلمات المفتاحية (tags) التي تساعد في تحسين ظهور المحتوى على محركات البحث.

دالة الإيراد الكلي والإيراد الحدي

التعاريف

• دالة الإيراد الكلي $R(v)$: مقدار الإيراد المحقق عند إنتاج وبيع $v$ وحدة من السلعة.
• الإيراد الحدي $R'(v)$: هو المشتق (التغير اللحظي) في الإيراد الكلي عند تغيير كمية الإنتاج بوحدة واحدة، ويرمز له عادةً بـ $MR(v)$.
• العلاقة الأساسية:

  $$R(v) = \int R'(v)\,\mathrm{d}v + C$$حيث $C$ ثابت التكامل الذي يُحدَّد من شرط معطى (مثل $R(0)=0$ إذا لم يكن هناك إنتاج فلا يوجد إيراد).

خطوات الاستنتاج

1. أخذ التكامل: $\displaystyle\int R'(v)\,\mathrm{d}v$.
2. إيجاد ثابت التكامل: عبر شرط مثل $R(0)=0$ أو أي شرط آخر معطى في السؤال.
3. تطبيق الثابت: كتابة الدالة النهائية $R(v)$.

مثال تطبيقي 1

المعطيات:
إذا كانت دالة الإيراد الحدي:

$$R'(v) = 8 – 6v + 2v^2$$

والشرط أن $R(0)=0$.

المطلوب:

1. جد دالة الإيراد الكلي $R(v)$.
2. جد دالة السعر $P(v)$، مع العلم أن السعر يُمثّل الإيراد الكلي مقسومًا على الكمية:

$$P(v) = \frac{R(v)}{v}.$$

الحل

1. تكامل دالة الإيراد الحدي

   $$\begin{aligned} R(v) &= \int \bigl(8 – 6v + 2v^2\bigr)\,\mathrm{d}v + C \\[6pt] &= 8v – 3v^2 + \frac{2}{3}v^3 + C. \end{aligned}$$

2. تحديد ثابت التكامل
   من الشرط $R(0)=0$ نستنتج:

   $$R(0) = 8\cdot0 – 3\cdot0^2 + \tfrac{2}{3}\cdot0^3 + C = 0 \quad\Longrightarrow\quad C = 0.$$إذاً:

   $$\boxed{R(v) = 8v – 3v^2 + \tfrac{2}{3}v^3}.$$

3. استنتاج دالة السعر

   $$P(v) = \frac{R(v)}{v} = \frac{8v – 3v^2 + \tfrac{2}{3}v^3}{v} = 8 – 3v + \tfrac{2}{3}v^2.$$بذلك:

   $$\boxed{P(v) = 8 – 3v + \tfrac{2}{3}v^2}.$$

دالة التكلفة الكلية والتكلفة الحدية

التعاريف

• دالة التكلفة الكلية $C(v)$: تمثل إجمالي التكلفة عند إنتاج $v$ وحدة.
• التكلفة الحدية $C'(v)$: المشتق الأول لدالة التكلفة الكلية، ويمثل التغير اللحظي في التكلفة عند زيادة الإنتاج بوحدة واحدة. يُرمز لها عادةً بـ $MC(v)$.
• العلاقة الأساسية:

  $$C(v) = \int C'(v)\,\mathrm{d}v + C_0$$حيث $C_0$ هو التكلفة الثابتة (التكلفة عند $v=0$).

خطوات الاستنتاج

1. أخذ التكامل: $\displaystyle\int C'(v)\,\mathrm{d}v$.
2. تحديد التكلفة الثابتة $C_0$ من شرط مثل $C(0)=C_0$.
3. كتابة الدالة النهائية $C(v)$.

مثال تطبيقي 2

المعطيات:
التكلفة الحدية معطاة بـ:

$$C'(v) = 2 + 60v – 5v^2,$$

ومعطى أن التكلفة الثابتة $C(0)=65$.

المطلوب:
جد دالة التكلفة الكلية $C(v)$.

الحل

1. تكامل دالة التكلفة الحدية

   $$\begin{aligned} C(v) &= \int \bigl(2 + 60v – 5v^2\bigr)\,\mathrm{d}v + C_0 \\[6pt] &= 2v + 30v^2 – \frac{5}{3}v^3 + C_0. \end{aligned}$$

2. تحديد التكلفة الثابتة
   من الشرط $C(0) = 65$ نحصل على:

   $$C(0) = 2\cdot0 + 30\cdot0^2 – \tfrac{5}{3}\cdot0^3 + C_0 = 65 \quad\Longrightarrow\quad C_0 = 65.$$إذاً:

   $$\boxed{C(v) = 2v + 30v^2 – \tfrac{5}{3}v^3 + 65}.$$

ملخص العلاقات الأساسية

• من التكلفة الحدية إلى التكلفة الكلية

  $$C(v) = \int MC(v)\,\mathrm{d}v + C_0.$$

• من الإيراد الحدي إلى الإيراد الكلي

  $$R(v) = \int MR(v)\,\mathrm{d}v + C,\quad C = R(0)\ (\text{إن وُجدت}).$$

• دالة السعر (أو دالة الطلب عند السعر):

  $$P(v) = \frac{R(v)}{v}.$$

نصائح تطبيقية

1. دائمًا تأكد من وحدة المتغير (عادةً $v$ للإنتاج).
2. عند وجود ثابت تكلفة أو ثابت إيراد، استخدم الشرط $v=0$ لاستنتاج قيمة الثابت.
3. إذا طلبت دالة السعر أو الطلب، قسّم ببساطة كل حد في دالة الإيراد الكلي على $v$ ثم بسط الناتج.
4. راجع قواعد التكامل الأساسية للدوال الخطية والحدية لتسريع الحل.