المشتقة باستخدام التعريف للدوال الجذرية – الصف السادس الأدبي

مرحباً بطلاب الصف السادس الأدبي! في هذا الدرس سنكمل شرح المشتقة باستخدام التعريف، وسنركز على الدوال الجذرية. سنوضح الخطوات بالتفصيل، ونستخدم أمثلة مشروحة، مع تذكير بالقوانين السابقة من الفصل الثاني لمساعدتك في فهم الموضوع بشكل كامل.

المشتقة باستخدام التعريف للدوال الجذرية

تعريف:
المشتقة باستخدام التعريف تعني حساب المشتقة الأولى للدالة من خلال تطبيق قانون النهاية الأساسي، قبل استخدام القوانين المباشرة للاشتقاق.

القانون الأساسي للمشتقة باستخدام التعريف:

$$f'(x) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{f(x+\Delta x) – f(x)}{\Delta x}$$

هذا القانون يجب أن تكتبه دائمًا كأول خطوة في الحل، وعليه درجتان مهمتان في الامتحان.

خطوات حل مسائل الدوال الجذرية باستخدام التعريف

1. كتابة قانون التعريف للمشتقة كما ذكرنا أعلاه.
2. كتابة الدالة المعطاة بطريقة مناسبة في القانون.
3. تعويض الدالة في الصيغة:
   • استبدل كل $x$ بـ $x + \Delta x$ ثم اطرح منها الدالة الأصلية.
4. التعامل مع الجذور:
   • عندما تكون الدالة تحتوي على جذور، يجب ضرب البسط والمقام بـ العامل المرافق.

تعريف العامل المرافق:

العامل المرافق لجذر ما هو:

نفس المقدار تحت الجذر مع تغيير إشارة الوسط فقط.

مثلاً:

• المرافق لـ $\sqrt{x + \Delta x} – \sqrt{x}$ هو $\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}$.

5. استخدام خاصية ضرب الجذور:
   • عندما تضرب جذرًا بنفسه، تحذف الجذر.
   • أمثلة:
     • $\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$
     • $\sqrt{x} \times \sqrt{x} = x$
6. التبسيط بعد الضرب:
   • طبق قانون الضرب: (الأول × الأول) – (الثاني × الثاني).
   • وزع الإشارة السالبة إذا لزم الأمر.
7. الاختصارات:
   • بعد التبسيط، عادة ستختصر بعض الحدود (مثل $x – x$).
8. التعويض النهائي:
   • بعد الاختصار والتبسيط، عوض $\Delta x = 0$ واحسب النهاية.

مثال محلول (من صفحة 62)

السؤال:
جد المشتقة باستخدام التعريف للدالة الجذرية التالية:

$$f(x) = \sqrt{x}$$

الحل:

1. كتابة القانون:

   $$f'(x) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{ \sqrt{x+\Delta x} – \sqrt{x} }{ \Delta x }$$

2. لاحظ وجود جذور → نضرب البسط والمقام بالعامل المرافق:

   $$\text{المرافق هو } (\sqrt{x+\Delta x} + \sqrt{x})$$

3. إجراء الضرب:
   • البسط:

     $$(\sqrt{x+\Delta x} – \sqrt{x})(\sqrt{x+\Delta x} + \sqrt{x}) = (x+\Delta x) – (x) = \Delta x$$

   • المقام:

     $$\Delta x (\sqrt{x+\Delta x} + \sqrt{x})$$

4. التبسيط:
   • $\Delta x$ في البسط والمقام تختصر:

     $$f'(x) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{1}{\sqrt{x+\Delta x} + \sqrt{x}}$$

5. التعويض النهائي:
   • عوض $\Delta x = 0$:

     $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

تمرين إضافي: مشتقة $f(x) = \sqrt{x+1}$

السؤال:
جد المشتقة باستخدام التعريف للدالة:

$$f(x) = \sqrt{x+1}$$

الحل:

1. كتابة القانون:

   $$f'(x) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{ \sqrt{(x+\Delta x)+1} – \sqrt{x+1} }{ \Delta x }$$

2. وجود جذور → نضرب بالعامل المرافق:

   $$\sqrt{x+\Delta x +1} + \sqrt{x+1}$$

3. إجراء الضرب:
   • البسط:

     $$(x+\Delta x +1) – (x+1) = \Delta x$$

   • المقام:

     $$\Delta x (\sqrt{x+\Delta x+1} + \sqrt{x+1})$$

4. التبسيط:
   • اختصار $\Delta x$:

     $$f'(x) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{1}{\sqrt{x+\Delta x+1} + \sqrt{x+1}}$$

5. التعويض النهائي:
   • عوض $\Delta x = 0$:

     $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$$

نصائح مهمة لفهم المشتقة باستخدام التعريف

• لا تنس كتابة القانون الأساسي في بداية الحل.
• كن حذرًا جدًا عند توزيع الإشارات السالبة بعد الضرب.
• المرافق مهم جدًا في اختصار الجذور.
• تأكد من تبسيط الحدود قبل تعويض $\Delta x = 0$.
• المشتقة النهائية يجب أن تكون مبسطة قدر الإمكان.

أسئلة وأجوبة

س: ما هو العامل المرافق؟
ج: هو نفس المقدار الذي يحتوي على الجذر مع تغيير إشارة الوسط بين الحدود.

س: لماذا نضرب بالمرافق في مسائل الجذور؟
ج: لإزالة الجذر من البسط وتسهل عملية الاختصار.

س: متى أعوض بقيمة الصفر؟
ج: بعد التبسيط واختصار الحدود يجب أن تعوض $\Delta x = 0$.

س: هل أكتب قانون المشتقة في كل مسألة؟
ج: نعم، كتابة قانون المشتقة باستخدام التعريف ضروري جدًا ويحسب عليه درجات.

خلاصة الدرس

أنهينا شرح المشتقة باستخدام التعريف للدوال الجذرية بشكل واضح ومبسط. تذكر دائمًا أن تستخدم العامل المرافق، وراجع أمثلة التمارين في الكتاب، خصوصًا صفحة 62 والتمارين المرافقة. بالممارسة ستتقن هذا النوع من الأسئلة.

بالتوفيق لجميع طلابنا الأعزاء!