في هذا الدرس الثاني من موضوع الاستمرارية، سنكمل ما بدأناه في الفيديو الأول، حيث تناولنا إثبات استمرارية الدالة الخطية والدالة الكسرية. اليوم سننتقل إلى كيفية إثبات استمرارية الدالة المنشطرة. هذا الدرس مهم جدًا لفهم كامل موضوع الاستمرارية.

ننصح بمراجعة درس غاية الدوال المنشطرة أولًا لفهم هذا الموضوع بسهولة أكبر.
كذلك، ندعوكم للانضمام إلى قناة التليجرام الخاصة بنا للحصول على اختبارات يومية وأسئلة مهمة (رابط القناة موجود أسفل الفيديو).

شروط إثبات استمرارية الدالة المنشطرة

لإثبات أن الدالة المنشطرة مستمرة عند نقطة معينة، يجب التحقق من ثلاثة شروط رئيسية:

1. أن تكون الدالة معرفة عند تلك النقطة.
   أي يمكن تعويض قيمة $x$ المعطاة في الدالة.
2. وجود الغاية عند تلك النقطة.
   ويشترط لذلك:
   • حساب غاية الدالة من اليمين.
   • حساب غاية الدالة من اليسار.
   • التأكد من أن الغايتين متساويتان.
3. أن تكون قيمة الدالة مساوية للغاية.
   أي أن نتيجة التعويض يجب أن تساوي نتيجة حساب الغايات.

كيفية التعامل مع الدالة المنشطرة

• عند التعامل مع دالة منشطرة، يجب التركيز على الجهة التي تحتوي على علامة “مساواة” ( $\geq$ أو $\leq$).
• نعوض قيمة $x$ في الجزء الذي يحتوي على علامة المساواة.
• نحسب الغايات من الجهتين (اليمين واليسار) للتحقق من وجود الغاية.

توضيح:

• إذا كانت الدالة تتضمن $x > 3$، فهذا يعني أن $3$ غير داخلة ضمن التعويض.
• أما إذا كانت $x \geq 3$، فهنا $3$ مشمولة، ويجب التعويض بها.

مثال محلول

نص المثال:

تحقق من استمرارية الدالة التالية عند $x = -1$:

$$f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 1 & \text{إذا كان } x \geq -1 \\ 2 – x & \text{إذا كان } x < -1 \end{cases}$$

الحل خطوة بخطوة:

أولًا: تحقق من تعريف الدالة

• نلاحظ أن هناك جزءًا من الدالة يحتوي على علامة مساواة ($\geq -1$).
• إذًا الدالة معرفة عند $x = -1$.

ثانيًا: نحسب قيمة الدالة عند $x = -1$

• نعوض في الجزء الذي يحتوي على المساواة:

$$2(-1)^2 + 1 = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3$$

ثالثًا: حساب الغايات

غاية الدالة من اليمين:

• الجزء الذي يقابل علامة $>$ أو $\geq$ هو $2x^2 + 1$.
• نحسب الغاية:

$$\lim_{{x \to -1^+}} 2x^2 + 1 = 3$$

غاية الدالة من اليسار:

• الجزء الذي يقابل علامة $<$ هو $2 – x$.
• نحسب الغاية:

$$\lim_{{x \to -1^-}} 2 – (-1) = 2 + 1 = 3$$

ملاحظة مهمة:

• الغاية من اليمين = الغاية من اليسار = 3. إذن الغاية موجودة.

رابعًا: المقارنة

• قيمة الدالة عند $x = -1$ = 3.
• الغاية عند $x = -1$ = 3.

بما أن:

$$f(-1) = \lim_{{x \to -1}} f(x)$$

فإن الدالة مستمرة عند $x = -1$.

مثال آخر محلول

نص المثال:

تحقق من استمرارية الدالة التالية عند $x = 0$:

$$f(x) = \begin{cases} 2x + 3 & \text{إذا كان } x < 0 \\ x^2 + 1 & \text{إذا كان } x \geq 0 \end{cases}$$

الحل خطوة بخطوة:

أولًا: تحقق من تعريف الدالة

• يوجد جزء يحتوي على $x \geq 0$، إذًا الدالة معرفة عند $x = 0$.

ثانيًا: حساب قيمة الدالة عند $x = 0$

• نعوض في الجزء الذي يحتوي على المساواة:

$$0^2 + 1 = 1$$

ثالثًا: حساب الغايات

غاية الدالة من اليمين:

• نستعمل $x^2 + 1$ عندما نقترب من الصفر من جهة اليمين:

$$\lim_{{x \to 0^+}} x^2 + 1 = 0 + 1 = 1$$

غاية الدالة من اليسار:

• نستعمل $2x + 3$ عندما نقترب من الصفر من جهة اليسار:

$$\lim_{{x \to 0^-}} 2(0) + 3 = 3$$

ملاحظة:

• الغاية من اليمين = 1، الغاية من اليسار = 3.
• بما أن الغايتين غير متساويتين، فالغاية غير موجودة.

رابعًا: النتيجة

• بما أن الغاية غير موجودة، فإن الدالة غير مستمرة عند $x = 0$.

واجب بيتي

سؤال واجب:

تحقق من استمرارية الدالة التالية عند $x = -1$:

$$f(x) = \begin{cases} 3 + x & \text{إذا كان } x \geq -1 \\ x^2 & \text{إذا كان } x < -1 \end{cases}$$

خطوات الحل:

• طبق شروط الاستمرارية الثلاثة:
  1. تحقق من تعريف الدالة عند $x = -1$.
  2. احسب قيمة الدالة عند $x = -1$.
  3. احسب الغاية من اليمين والغاية من اليسار.
  4. قارن بين الغايتين وبين قيمة الدالة.

الخلاصة

في التعامل مع الدوال المنشطرة لإثبات الاستمرارية، يجب اتباع ثلاث خطوات أساسية: تحقق من تعريف الدالة، حساب الغاية (يمين ويسار)، ثم مقارنة الغاية مع قيمة الدالة.
كلما تدربت أكثر على هذه الخطوات، أصبحت المسألة أوضح وأسهل بالنسبة لك.