التكامل المحدد – رياضيات السادس الادبي

التعريف والأفكار الأساسية

التكامل المحدد هو العملية العكسية للتفاضل، ويُعبَّر عنه بصياغة رياضية تشمل:

• رمز التكامل “∫”
• تابع التكامل أو الدالة $f(x)$
• حدود التكامل: الحد الأدنى $a$ والحد الأعلى $b$ مكتوبين أسفل وأعلى رمز التكامل
• عنصر التفاضل “$dx$”

عند حساب التكامل المحدد $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx$، نتبع الخطوات التالية:

1. إيجاد الدالة الأصلية (Antiderivative) أو ما يُسمى $F(x)$، بحيث $F'(x)=f(x)$.
2. التعويض في $F(x)$ بالحد الأعلى $b$ ثم بحد الأدنى $a$.
3. حساب الفرق $F(b) – F(a)$.

يُستخدم التكامل المحدد في:

• حساب المساحات تحت المنحنيات
• إيجاد متوسط الدالة على فترة
• تطبيقات في الاقتصاد والفيزياء (مثل حساب الكمية الكلية أو الشغل)

خطوات حل التكامل المحدد

1. احذف رمز التكامل والعنصر $dx$ مؤقتًا واستخرج الدالة الأصلية $F(x)$.
2. أعد كتابة حدود التكامل بجوار $F(x)$.
3. عوض الحد الأعلى في $F(x)$ ثم اطرح قيمة $F$ عند الحد الأدنى.
4. إذا كانت حدود التكامل معكوسة (أي من الأكبر إلى الأصغر)، اقلبهما وأضف إشارة سالبة أمام النتيجة.
5. في حالات الجدور أو الأسس الكسرية، حوّلها إلى أسس نسبية قبل التكامل.
6. إذا تحوَّلت الدالة إلى حاصل ضرب، استخدم خاصية التوزيع أو تعويض المتغير حسب المناسب.

أمثلة تطبيقية

المثال الأول: $\displaystyle \int_{0}^{4} x^2 \,dx$

1. إيجاد الدالة الأصلية:

   $$\int x^2\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C$$

2. إعادة كتابة حدود التكامل:

   $$\left. \frac{x^{3}}{3} \right|_{0}^{4}$$

3. التعويض وحساب الفرق:

   $$\frac{4^3}{3} \;-\; \frac{0^3}{3} = \frac{64}{3} \;-\; 0 = \frac{64}{3}$$

النتيجة: $\displaystyle \frac{64}{3}$

المثال الثاني: $\displaystyle \int_{1}^{3} 3x^2 \,dx$

1. دالة أصلية:

   $$\int 3x^2\,dx = 3\cdot\frac{x^{3}}{3} = x^3 + C$$

2. الحدود:

   $$\left. x^3 \right|_{1}^{3}$$

3. التعويض:

   $$3^3 \;-\; 1^3 = 27 – 1 = 26$$

النتيجة: $26$

المثال الثالث: تحويل دوال جذرية

$$\displaystyle \int_{0}^{3} \frac{2x}{\sqrt{x+1}} \,dx$$

1. تحويل الجذر:

   $$\sqrt{x+1} = (x+1)^{\tfrac12} \quad\Rightarrow\quad \frac{2x}{\sqrt{x+1}} = 2x\,(x+1)^{-\tfrac12}$$

2. تعويض جزئي (اختياري) أو التوزيع:
   ننزع عامل $2$ للخارج ونوزع $x = (x+1)-1$:

   $$2\int_{0}^{3} \frac{x+1-1}{(x+1)^{\tfrac12}}\,dx = 2\int_{0}^{3} \Bigl((x+1)^{\tfrac12} -(x+1)^{-\tfrac12}\Bigr)dx$$

3. تكامل الحدين:
   • $\displaystyle \int (x+1)^{\tfrac12}dx = \frac{(x+1)^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}(x+1)^{\tfrac32}$
   • $\displaystyle \int (x+1)^{-\tfrac12}dx = \frac{(x+1)^{\tfrac12}}{\tfrac12} = 2(x+1)^{\tfrac12}$
4. التعويض والفرق:

   $$2\Bigl[\tfrac{2}{3}(x+1)^{\tfrac32} – 2(x+1)^{\tfrac12}\Bigr]_{0}^{3} = 2\Bigl(\tfrac{2}{3}(4)^{\tfrac32} – 2(4)^{\tfrac12} – \bigl[\tfrac{2}{3}(1)^{\tfrac32} – 2(1)^{\tfrac12}\bigr]\Bigr)$$ $$= 2\Bigl(\tfrac{2}{3}\cdot8 – 2\cdot2 – (\tfrac{2}{3}\cdot1 -2)\Bigr) = 2\Bigl(\tfrac{16}{3} – 4 – \tfrac{2}{3} +2\Bigr) = 2\Bigl(\tfrac{14}{3} -2\Bigr) = 2\cdot\tfrac{8}{3} = \tfrac{16}{3}$$

النتيجة: $\displaystyle \frac{16}{3}$

المثال الرابع: خاصية التوزيع

$$\displaystyle \int_{0}^{4} \bigl[-x(x+1)\bigr]\,dx$$

1. توزيع الضرب:

   $$-x(x+1) = -(x^2 + x)$$

2. تكامل مباشر:

   $$\int (x^2 + x)\,dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad -\Bigl(\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}\Bigr)$$

3. التعويض:

   $$-\Bigl[\tfrac{4^3}{3} + \tfrac{4^2}{2} – \bigl(\tfrac{0^3}{3} + \tfrac{0^2}{2}\bigr)\Bigr] = -\Bigl(\tfrac{64}{3} + 8\Bigr) = -\tfrac{64 + 24}{3} = -\tfrac{88}{3}$$

النتيجة: $-\displaystyle \frac{88}{3}$

المثال الخامس: دالة جذر تكعيبي

$$\displaystyle \int_{1}^{125} \sqrt{\sqrt[3]{x}\;-\;1}\;dx$$

1. تحويل الجذور:

   $$\sqrt[3]{x} = x^{\tfrac13},\quad \sqrt{\sqrt[3]{x}-1} = (\,x^{\tfrac13}-1)^{\tfrac12}$$

2. السلسلة (قاعدة الاشتقاق العكسي):
   إذا $\int u^n\,du=\tfrac{u^{n+1}}{n+1}$، ووجدنا $du$ داخل $dx$:

   $$u = x^{\tfrac13}-1,\quad du = \tfrac{1}{3}x^{-\tfrac23}dx$$ونرتب التكامل ليحتوي على $du$. بعد التعديل نجد:

   $$\int (x^{\tfrac13}-1)^{\tfrac12}\,dx = \int u^{\tfrac12}\,\frac{3\,du}{x^{-\tfrac23}} \quad\text{(تفصيل الدلالة في التطبيق العملي)}$$

3. تكامل القوى (مبدأي):

   $$\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}u^{\tfrac32}$$

4. التعويض النهائي (بعد إعادة $u$ إلى $x$) وتقييم الحدود $1$ و$125$.
   النتيجة تتضمن حساب $(x^{\tfrac13}-1)^{\tfrac32}$ عند $x=125$ (حيث $\sqrt[3]{125}=5$) وعند $x=1$ (حيث $\sqrt[3]{1}=1$).
   بعد تبسيط العمليات تظهر القيمة النهائية على شكل كسر أو عدد صحيح.

ملاحظة حول عكس حدود التكامل

• إذا جاءت حدود التكامل من الكبير إلى الصغير، نقلل الإشارة بوضع إشارة سالبة أمام التكامل:

  $$\int_{b}^{a} f(x)\,dx = -\,\int_{a}^{b} f(x)\,dx$$

الأسئلة المنهجية والتدريبية

للتدريب العملي، يُنصح بحل التمارين التالية من كتاب الرياضيات (صفحة 129):

1. $\displaystyle \int_{0}^{4} x^3 \,dx$
2. $\displaystyle \int_{2}^{3} \frac{1}{x} \,dx$
3. $\displaystyle \int_{1}^{2} \sqrt{x+2}\,dx$
4. $\displaystyle \int_{-6}^{-5} (\sqrt{x+6}\,)^{2}\,dx$

هذه التمارين تغطي:

• الدوال كثيرة الحدود
• الدوال الخطية والمقلوبة
• الدوال الجذرية
• عكس الحدود