تطبيقات المشتقة في الاقتصاد للصف السادس الأدبي

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته طلاب الصف السادس الأدبي.
اليوم نبدأ شرح موضوع تطبيقات المشتقة في الاقتصاد من الفصل الثالث. هذا الموضوع عليه فيديو واحد فقط، وسنركز فيه على أربع دوال أساسية.
الفيديو يشرح مثال صفحة 80 من الكتاب ثم نحل تمارين الكتاب، خصوصًا السؤال الثامن والتاسع.
التركيز ضروري لأن الموضوع سهل جدًا لو فهمت وحفظت الأربع دوال وطريقة استخراجها.

الدوال الأربعة الأساسية في تطبيقات المشتقة في الاقتصاد

1. دالة الكلفة الكلية

• التعريف: دالة تمثل الكلفة الكلية لإنتاج عدد معين من الوحدات.
• الرمز: $C(x)$ أو $\text{Cost Function}$.
• ملاحظة: دائمًا تُعطى في السؤال ولا تحتاج لاشتقاق.
• أمثلة:
  • $C(x) = x^2 + 4x + 1$
  • $C(x) = 2x^3 + 5x$
  • $C(x) = 1 – 2x^3$

2. دالة الكلفة الحدية

• التعريف: تمثل معدل التغير في الكلفة الكلية نسبة إلى التغير في عدد الوحدات.
• الرمز: $C'(x)$
• طريقة الاستخراج: نشتق دالة الكلفة الكلية.
• أمثلة:
  • إذا كانت $C(x) = x^2 + 4x$، فالمشتقة $C'(x) = 2x + 4$.
  • إذا كانت $C(x) = x^3 + 2x^2$، فالمشتقة $C'(x) = 3x^2 + 4x$.

3. معدل الكلفة الكلية

• التعريف: يمثل الكلفة الكلية للوحدة الواحدة من الإنتاج.
• الرمز: $AC(x)$ أو $\bar{C}(x)$.
• طريقة الاستخراج: نقسم دالة الكلفة الكلية على $x$.
• مثال:
  • إذا كانت $C(x) = x^3 + 4x$، فإن:

    $$AC(x) = \frac{C(x)}{x} = x^2 + 4$$

4. معدل الكلفة الحدية

• التعريف: يمثل مشتقة معدل الكلفة الكلية.
• الرمز: $AC'(x)$ أو $\bar{C}'(x)$.
• طريقة الاستخراج: نشتق معدل الكلفة الكلية.
• ملاحظة: هنا نشتق المعدل، وليس الكلفة الكلية الأصلية.

خطوات التعامل مع مسائل تطبيقات المشتقة في الاقتصاد

• أولًا: تحديد دالة الكلفة الكلية المعطاة في السؤال.
• ثانيًا: استخراج دالة الكلفة الحدية باشتقاق دالة الكلفة الكلية.
• ثالثًا: استخراج معدل الكلفة الكلية بقسمة الكلفة الكلية على $x$.
• رابعًا: استخراج معدل الكلفة الحدية باشتقاق معدل الكلفة الكلية.

شرح المثال الأساسي (مثال صفحة 80)

نص المثال

دالة الكلفة الكلية لإنتاج سلعة ما:

$$C(x) = 3x^2 – 60x + 1200$$

المطلوب:

1. إيجاد دالة الكلفة الحدية.
2. إيجاد معدل الكلفة الكلية.
3. إيجاد معدل الكلفة الحدية.
4. حساب حجم الإنتاج الذي يعطي أقل معدل كلفة.

الحل خطوة بخطوة:

أولاً: الكلفة الحدية

نحسب المشتقة الأولى:

$$C'(x) = 6x – 60$$

ثانياً: معدل الكلفة الكلية

نقسم دالة الكلفة الكلية على $x$:

$$AC(x) = \frac{3x^2 – 60x + 1200}{x} = 3x – 60 + \frac{1200}{x}$$

ثالثاً: معدل الكلفة الحدية

نحسب مشتقة معدل الكلفة الكلية:

$$AC'(x) = 3 + \frac{0}{x} – \frac{1200}{x^2} = 3 – \frac{1200}{x^2}$$

رابعاً: حجم الإنتاج الذي يعطي أقل معدل كلفة

نصفر معدل الكلفة الحدية:

$$3 – \frac{1200}{x^2} = 0$$

ننقل الطرف:

$$\frac{1200}{x^2} = 3$$

نضرب الطرفين بـ $x^2$:

$$1200 = 3x^2$$

نقسم على 3:

$$x^2 = 400$$

نأخذ الجذر:

$$x = 20$$

إذن، حجم الإنتاج الذي يعطي أقل معدل كلفة هو $\boxed{20}$ وحدة.

حل تمارين صفحة 81

السؤال الثامن

نص التمرين:

دالة الكلفة الكلية:

$$C(x) = 1500 + 30x + \frac{20}{x}$$جد الكلفة الحدية عندما يكون عدد الوحدات المنتجة 50.

الحل:

الكلفة الحدية:

نحسب المشتقة:

$$C'(x) = 30 – \frac{20}{x^2}$$

التعويض:

نعوض $x = 50$:

$$C'(50) = 30 – \frac{20}{50^2} = 30 – \frac{20}{2500} = 30 – \frac{1}{125}$$

نوحد المقامات:

$$30 = \frac{3750}{125}$$

ثم:

$$C'(50) = \frac{3750 – 1}{125} = \frac{3749}{125}$$

السؤال التاسع

نص التمرين:

دالة الكلفة الكلية:

$$C(x) = \frac{1}{2}x^2 – 2x + 5$$

الحل:

الكلفة الحدية:

نحسب المشتقة:

$$C'(x) = x – 2$$

معدل الكلفة الكلية:

نقسم الكلفة الكلية على $x$:

$$AC(x) = \frac{1}{2}x – 2 + \frac{5}{x}$$

ملاحظات مهمة جدًا

• إذا طلب “الكلفة الحدية” → نشتق الكلفة الكلية.
• إذا طلب “معدل الكلفة الكلية” → نقسم الكلفة الكلية على $x$.
• إذا طلب “معدل الكلفة الحدية” → نشتق معدل الكلفة الكلية.
• إذا طلب “حجم الإنتاج لأقل كلفة” → نصفر معدل الكلفة الحدية.