النقط الحرجة والنهايات العظمى والصغرى ومناطق التزايد والتناقص للصف السادس الأدبي

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته، طلاب الصف السادس الأدبي. وصلنا اليوم إلى المحاضرة التاسعة من الفصل الثالث، والتي تتناول موضوعًا مهمًا جدًا وهو النقط الحرجة والنهايات العظمى والصغرى ومناطق التزايد والتناقص. هذا الموضوع ضروري لفهم موضوع رسم الدوال لاحقاً، لذلك يجب عليك فهمه جيداً.

الموضوع يعتمد على أربع خطوات ثابتة للحل، ويظهر بشكل متكرر في الامتحانات الوزارية.

فكرة عامة عن الموضوع

عندما يعطيك السؤال دالة ويطلب منك:

• إيجاد النقط الحرجة.
• إيجاد النهايات العظمى أو الصغرى.
• تحديد مناطق التزايد والتناقص.

يجب أن تعرف أن لكل نقطة حرجة إحداثيين (س، ص)، أي قيمة للإكس وقيمة للواي.

بعض الدوال تخرج لنا:

• قيمة واحدة فقط لـ x.
• أو قيمتين.
• أو ثلاث قيم (وهو نادر).

لذلك سنتدرج مع أمثلة فيها قيمة x واحدة، ثم ننتقل تدريجيًا إلى أمثلة أكثر تعقيدًا.

خطوات حل مسائل النقط الحرجة والنهايات

الخطوة 1: اشتق الدالة مرة واحدة فقط.

الخطوة 2: ساوِ المشتقة بالصفر لإيجاد قيمة $x$.

الخطوة 3: عوض قيمة $x$ في الدالة الأصلية لإيجاد قيمة $y$.

الخطوة 4: اختبر الإشارة على خط الأعداد لتحديد مناطق التزايد والتناقص والنهاية (عظمى أو صغرى).

مثال (1)

السؤال: جد النقاط الحرجة والنهايات العظمى أو الصغرى ومناطق التزايد والتناقص للدالة:
$f(x) = x^2$

الحل:

1. الاشتقاق:
   $f'(x) = 2x$
2. مساواة المشتقة بالصفر:
   $2x = 0$
   نقسم على 2:
   $x = 0$
3. إيجاد $y$:
   نعوض $x = 0$ في الدالة الأصلية:
   $y = (0)^2 = 0$

النقطة الحرجة: (0، 0).

4. اختبار الإشارة:

• نرسم خط الأعداد ونضع عليه $0$.
• نختار عددًا أكبر من الصفر (مثلاً 1) ونعوضه في المشتقة $f'(x) = 2x$:
  • $2(1) = 2$ → موجب (تزايد).
• نختار عددًا أصغر من الصفر (مثلاً -1):
  • $2(-1) = -2$ → سالب (تناقص).

تحليل السهمين:

• تناقص ثم تزايد → إذن النهاية صغرى محلية عند النقطة (0،0).

5. مناطق التزايد والتناقص:

• مناطق التزايد: $x > 0$
• مناطق التناقص: $x < 0$

مثال (2)

السؤال: جد النقاط الحرجة والنهايات العظمى أو الصغرى ومناطق التزايد والتناقص للدالة:
$f(x) = 2x^2 – 8x$

الحل:

1. الاشتقاق:
   $f'(x) = 4x – 8$
2. مساواة المشتقة بالصفر:
   $4x – 8 = 0$
   $4x = 8$
   $x = 2$
3. إيجاد $y$:
   نعوض $x = 2$ في الدالة الأصلية:
   $y = 2(2)^2 – 8(2) = 8 – 16 = -8$

النقطة الحرجة: (2، -8).

4. اختبار الإشارة:

• نختبر عددًا أكبر من 2 (مثلاً 3):
  • $f'(3) = 4(3) – 8 = 4$ → موجب (تزايد).
• نختبر عددًا أصغر من 2 (مثلاً 1):
  • $f'(1) = 4(1) – 8 = -4$ → سالب (تناقص).

تحليل السهمين:

• تناقص ثم تزايد → إذن النهاية صغرى محلية عند النقطة (2، -8).

5. مناطق التزايد والتناقص:

• مناطق التزايد: $x > 2$
• مناطق التناقص: $x < 2$

مثال (3)

السؤال: جد النقاط الحرجة والنهايات العظمى أو الصغرى للدالة:
$f(x) = -2x^3 + 4$

الحل:

1. الاشتقاق:
   $f'(x) = -6x^2$
2. مساواة المشتقة بالصفر:
   $-6x^2 = 0$
   $x = 0$
3. إيجاد $y$:
   نعوض $x = 0$ في الدالة الأصلية:
   $y = -2(0)^3 + 4 = 4$

النقطة الحرجة: (0، 4).

4. اختبار الإشارة:

• نختبر عددًا أكبر من 0 (مثلاً 1):
  • $f'(1) = -6(1)^2 = -6$ → سالب (تناقص).
• نختبر عددًا أصغر من 0 (مثلاً -1):
  • $f'(-1) = -6(-1)^2 = -6$ → سالب (تناقص).

تحليل السهمين:

• تناقص وتناقص → لا توجد نهاية عظمى أو صغرى.
• الدالة متناقصة في مجالها ولا توجد نهايات محلية.

5. مناطق التزايد والتناقص:

• الدالة متناقصة دائمًا.

ملاحظات هامة

• الإشارة الموجبة في المشتقة الأولى تعني أن الدالة متزايدة.
• الإشارة السالبة تعني أن الدالة متناقصة.
• إذا انتقلنا من تناقص إلى تزايد → النهاية صغرى محلية.
• إذا انتقلنا من تزايد إلى تناقص → النهاية عظمى محلية.
• إذا كانت الإشارات متماثلة (سالب-سالب أو موجب-موجب) → لا توجد نهايات.

واجب بيتي للتدريب

حل تمارين كتاب الرياضيات:

• تمارين (3-4) صفحة 91.

أنصحك:

• حاول حل التمارين بمفردك أولاً.
• ثم قارن حلك بالشرح في المحاضرات القادمة لتعرف أخطاءك وتتعلم منها.

الخاتمة

بهذا نكون قد فهمنا موضوع النقط الحرجة والنهايات ومناطق التزايد والتناقص بطريقة مرتبة وبسيطة. بالتكرار والتدريب، ستجد الموضوع سهلاً جداً.
لا تنسَ مشاركة الدرس مع أصدقائك ودعاءك لمعلميك وذويهم بالرحمة والمغفرة.