تبسيط الأقواس المتشابهة ذات الإشارات المختلفة – رياضيات السادس الادبي

في هذا الدرس، سنتعلم كيفية تبسيط الأقواس المتشابهة والتي تحتوي على إشارات مختلفة. سنتبع طريقة منظمة لفهم القوانين اللازمة للتبسيط مع أمثلة محلولة لتوضيح الأفكار.

خطوات تبسيط الأقواس المتشابهة:

1. إيجاد عدد الحدود لكل قوس
   • قاعدة عامة: عدد الحدود = الأس + 1
   • أي إذا كان الأس $n$، فإن عدد الحدود في القوس هو $n + 1$.
2. تحديد نوع الإشارة بين القوسين:
   • إذا كانت الإشارة بين القوسين جمعًا (+):
     • يكون القانون المستخدم هو:

       $$2 \times (قوس أعداد الزوجية)$$

     • أي نضرب الأعداد الزوجية الخارجة من التوسيع في 2.
   • إذا كانت الإشارة بين القوسين طرحًا (−):
     • يكون القانون المستخدم هو:

       $$2 \times (قوس أعداد الفردية)$$

     • أي نضرب الأعداد الفردية الخارجة من التوسيع في 2.

أمثلة محلولة مع شرح مفصل:

المثال الأول:

بسّط المقدار التالي:

$$(2+q)^3 + (2-q)^3$$

الحل:

• لاحظ أن لدينا قوسين متشابهين، الأول بإشارة موجبة $+q$، والثاني بإشارة سالبة $-q$.
• يوجد إشارة جمع (+) بين القوسين.

نطبق الخطوات:

• الأس هو $3$، إذًا عدد الحدود = $3 + 1 = 4$ حدود لكل قوس.
• بما أن الإشارة جمع، نستخدم قانون:

$$2 \times (قوس الأعداد الزوجية)$$

أي أننا سنجمع الحدود الزوجية فقط من التوسيع، ونضرب الناتج بـ 2.

توسعة القوس الأول:

• باستخدام مفكوك ذات الحدين:

$$(2+q)^3 = 2^3 + 3 \times 2^2 \times q + 3 \times 2 \times q^2 + q^3$$ $$= 8 + 12q + 6q^2 + q^3$$

توسعة القوس الثاني:

$$(2-q)^3 = 2^3 + 3 \times 2^2 \times (-q) + 3 \times 2 \times (-q)^2 + (-q)^3$$ $$= 8 – 12q + 6q^2 – q^3$$

جمع القوسين:

$$(8 + 12q + 6q^2 + q^3) + (8 – 12q + 6q^2 – q^3)$$

• جمع الحدود المتشابهة:

$$(8 + 8) + (12q – 12q) + (6q^2 + 6q^2) + (q^3 – q^3)$$ $$= 16 + 0 + 12q^2 + 0$$

النتيجة النهائية:

$$16 + 12q^2$$

المثال الثاني:

بسّط المقدار التالي:

$$(a+\frac{1}{a})^5 – (a-\frac{1}{a})^5$$

الحل:

• لدينا قوسين متشابهين مع إشارات مختلفة.
• الإشارة طرح (−) بين القوسين.

نطبق الخطوات:

• الأس هو $5$، إذًا عدد الحدود = $5 + 1 = 6$ حدود لكل قوس.
• بما أن الإشارة طرح، نستخدم قانون:

$$2 \times (قوس الأعداد الفردية)$$

أي نأخذ الحدود الفردية فقط من التوسيع، ونضربها بـ 2.

توسعة القوس الأول:

باستخدام مفكوك ذات الحدين نجد أن:

$$(a+\frac{1}{a})^5 = a^5 + 5a^3 \times \frac{1}{a} + 10a \times \frac{1}{a^2} + 10 \frac{1}{a} \times a^2 + 5\frac{1}{a^3} \times a + \frac{1}{a^5}$$

توسعة القوس الثاني:

بنفس الطريقة، ولكن عند تعويض $-\frac{1}{a}$ ستتغير إشارات الحدود الفردية فقط.

عند الطرح، تختفي الحدود الزوجية، وتتضاعف الحدود الفردية.

النتيجة النهائية:

نجمع الحدود الفردية ونضرب بـ 2.

المثال الثالث:

بسّط المقدار التالي ثم جد قيمة المقدار عندما $q = \sqrt{3}$:

$$(2+q)^4 + (2-q)^4$$

الحل:

• القوسان متشابهان مع إشارات مختلفة.
• الإشارة بينهما جمع (+).

نطبق الخطوات:

• الأس هو $4$، إذًا عدد الحدود = $4 + 1 = 5$ حدود لكل قوس.
• الإشارة جمع، إذًا نستخدم:

$$2 \times (قوس الأعداد الزوجية)$$

توسعة القوس الأول:

$$(2+q)^4 = 2^4 + 4 \times 2^3 \times q + 6 \times 2^2 \times q^2 + 4 \times 2 \times q^3 + q^4$$ $$= 16 + 32q + 24q^2 + 8q^3 + q^4$$

توسعة القوس الثاني:

$$(2-q)^4 = 2^4 + 4 \times 2^3 \times (-q) + 6 \times 2^2 \times q^2 + 4 \times 2 \times (-q)^3 + (-q)^4$$ $$= 16 – 32q + 24q^2 – 8q^3 + q^4$$

جمع القوسين:

$$(16 + 32q + 24q^2 + 8q^3 + q^4) + (16 – 32q + 24q^2 – 8q^3 + q^4)$$

• جمع الحدود المتشابهة:

$$(16 + 16) + (32q – 32q) + (24q^2 + 24q^2) + (8q^3 – 8q^3) + (q^4 + q^4)$$ $$= 32 + 0 + 48q^2 + 0 + 2q^4$$

النتيجة النهائية:

$$2q^4 + 48q^2 + 32$$

الآن نعوض بقيمة $q = \sqrt{3}$:

• نحسب:

$$q^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$$ $$q^4 = (q^2)^2 = 9$$

وبالتعويض:

$$2(9) + 48(3) + 32$$ $$= 18 + 144 + 32$$ $$= 194$$

إذن قيمة المقدار هي:

$$\boxed{194}$$

خلاصة قوانين تبسيط الأقواس المتشابهة: