حل تمارين الاستمرارية [2-2] رياضيات الصف السادس الأدبي

نكمل معكم اليوم حل تمارين (2-2) الخاصة بموضوع الاستمرارية صفحة 58 من الكتاب.
ملاحظة مهمة: من الضروري جداً متابعة قناة التليجرام (الرابط بالوصف)، حيث ستجدون أسئلة مهمة وامتحانات يومية تساعدكم على مراجعة وفهم الدروس بدقة. بعد قراءة الموضوع، توجه إلى القناة وامتحن نفسك لترى مدى فهمك للدرس، وهل أنت قادر على حل الأسئلة الوزارية أم لا.

السؤال الأول

نص السؤال:

لتكن $f(x) = x^3 + x^2 + 3$.
ابحث الاستمرارية عند $x = 3$.

الحل:

عندما تسمع كلمة استمرارية، مباشرةً يجب أن تتذكر الشروط الثلاثة للاستمرارية:

1. يجب أن تكون الدالة معرفة عند النقطة.
2. يجب أن تكون النهاية موجودة عند النقطة.
3. يجب أن تكون قيمة الدالة تساوي قيمة النهاية.

نبدأ بالحل:

• نوع الدالة: دالة حدودية (جبرية)، والدوال الجبرية مستمرة على جميع الأعداد الحقيقية. إذن:
  

  أوسع مجال للدالة هو $\mathbb{R}$ (جميع الأعداد الحقيقية).

الخطوات:

الشرط الأول: الدالة معرفة
نعوض $x = 3$ في الدالة:

$$f(3) = (3)^3 + (3)^2 + 3 = 27 + 9 + 3 = 39$$

إذن الدالة معرفة والناتج $39$.

الشرط الثاني: النهاية موجودة
نحسب النهاية:

$$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (x^3 + x^2 + 3) = 27 + 9 + 3 = 39$$

إذن النهاية موجودة وتساوي $39$.

الشرط الثالث: تطابق قيمة الدالة والنهاية
بما أن:

$$f(3) = \lim_{x \to 3} f(x) = 39$$

إذن الدالة مستمرة عند $x = 3$.

السؤال الثاني

نص السؤال:

لتكن $f(x) = \dfrac{x^2}{x^2+1}$.
أثبت أن $f$ مستمرة في مجالها.

الحل:

• نوع الدالة: دالة كسرية، لكن المقام $x^2 + 1$ لا يساوي صفرًا لأي عدد حقيقي. بالتالي:
  

  أوسع مجال للدالة هو $\mathbb{R}$.

الخطوات:

الشرط الأول: الدالة معرفة
نفرض أن $x = a$ حيث $a \in \mathbb{R}$.
نعوض:

$$f(a) = \dfrac{a^2}{a^2+1}$$

الشرط الثاني: النهاية موجودة
نحسب:

$$\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} \dfrac{x^2}{x^2+1} = \dfrac{a^2}{a^2+1}$$

الشرط الثالث: تطابق قيمة الدالة والنهاية
بما أن:

$$f(a) = \lim_{x \to a} f(x)$$

إذن الدالة مستمرة في مجالها.

السؤال الثالث

نص السؤال:

لتكن $f(x) = x^3$.
ابحث الاستمرارية في مجالها.

الحل:

• الدالة حدودية، إذن:
  

  أوسع مجال هو $\mathbb{R}$.

نطبق الشروط الثلاثة:

• الدالة معرفة عند أي عدد حقيقي $a$.
• النهاية موجودة وتساوي $a^3$.
• قيمة الدالة تساوي النهاية.

إذن:

الدالة مستمرة في مجالها.

السؤال الرابع

نص السؤال:

دالة مشطرة:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 – 2 & \text{لـ } x \geq -1 \\ 3x + 1 & \text{لـ } x < -1 \end{cases}$$ابحث الاستمرارية عند $x = -1$.

الحل:

الخطوات:

الشرط الأول: الدالة معرفة
عوض $x = -1$ في الجزء الذي فيه المساواة $x \geq -1$:

$$f(-1) = (-1)^2 – 2 = 1 – 2 = -1$$

الشرط الثاني: النهاية موجودة

• النهاية من اليمين (باستخدام $x^2 – 2$):

  $$\lim_{x \to -1^+} f(x) = (-1)^2 – 2 = -1$$

• النهاية من اليسار (باستخدام $3x + 1$):

  $$\lim_{x \to -1^-} f(x) = 3(-1) + 1 = -2$$

ملاحظة:

$$\lim_{x \to -1^-} f(x) \neq \lim_{x \to -1^+} f(x)$$

لذلك النهاية غير موجودة، وبالتالي:

الدالة غير مستمرة عند $x = -1$.

السؤال الخامس

نص السؤال:

لتكن $f(x) = |x-2|$.
ابحث الاستمرارية عند $x = 2$.

الحل:

الخطوات:

أولاً: تحديد الحد الفاصل:

• حل $x-2=0$ → $x=2$.

ثانياً: فتح الدالة المطلقة:

$$f(x) = \begin{cases} x-2 & \text{إذا كان } x \geq 2 \\ -(x-2) = -x+2 & \text{إذا كان } x < 2 \end{cases}$$

ثالثاً: تحقق شروط الاستمرارية:

• الدالة معرفة عند $x=2$:

  $$f(2) = 2-2 = 0$$

• النهاية موجودة:
  • النهاية من اليمين:

    $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2-2 = 0$$

  • النهاية من اليسار:

    $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = -2+2 = 0$$

بما أن النهاية من اليمين = النهاية من اليسار = قيمة الدالة:

إذن الدالة مستمرة عند $x = 2$.

مثال إضافي للتدريب

نص المثال:

لتكن $f(x) = |x+3|$.
ابحث الاستمرارية.

الحل:

• الحد الفاصل: $x=-3$.
• فتح المطلق:

$$f(x) = \begin{cases} x+3 & \text{إذا كان } x \geq -3 \\ -(x+3) = -x-3 & \text{إذا كان } x < -3 \end{cases}$$

• تحقق شروط الاستمرارية عند $x = -3$ كما في المثال السابق.

ملاحظة ختامية

الأسئلة السادسة والسابعة والثامنة ستُشرح في فيديو مستقل لاحقًا بإذن الله.
ابقوا معنا لمتابعة باقي الحلول.