مضروب العدد – رياضيات الصف السادس الأدبي

تعريف المضروب

تعريف المضروب:
هو حاصل ضرب العدد في جميع الأعداد الطبيعية الأقل منه مباشرة حتى الوصول إلى العدد واحد.

بمعنى آخر:
نبدأ بالعدد نفسه ثم نضربه في العدد الذي يسبقه ثم الذي قبله وهكذا بالتدرج حتى نصل إلى الواحد.

أمثلة على المضروب

• مضروب العدد (5) هو:

  $$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$

• مضروب العدد (4) هو:

  $$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$

• مضروب العدد (3) هو:

  $$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$$

• مضروب العدد (2) هو:

  $$2! = 2 \times 1 = 2$$

ملاحظة مهمة:

• مضروب الواحد (1!) = 1
• مضروب الصفر (0!) = 1
  يجب حفظ هذه القيم جيداً.

ملاحظة هامة عند الجمع والطرح بين المضروبات

إذا كانت العملية جمع أو طرح بين مضروبين، يجب حساب كل مضروب أولاً ثم نجري العملية الحسابية المطلوبة.

مثال 1:
احسب: $4! + 2!$

• $4! = 24$
• $2! = 2$
• الناتج: $24 + 2 = 26$

مثال 2:
احسب: $5! – 3!$

• $5! = 120$
• $3! = 6$
• الناتج: $120 – 6 = 114$

تحذير:
❌ لا يمكن جمع الأعداد ثم حساب مضروب الناتج. يجب حساب كل مضروب على حدة.

ملاحظة عند قسمة مضروب على مضروب

عند وجود خط كسر (مضروب فوق مضروب)، نتبع القاعدة:

افتح المضروب الأكبر تدريجياً حتى تصل إلى المضروب الأصغر ثم توقف.

مثال 1:
احسب: $\frac{5!}{3!}$

• نفتح المضروب الكبير: $5 \times 4 \times 3!$
• نختصر $3!$ مع $3!$
• الناتج: $5 \times 4 = 20$

مثال 2:
احسب: $\frac{10!}{7!}$

• نفتح $10!$ حتى $7!$: $10 \times 9 \times 8 \times 7!$
• نختصر $7!$ مع $7!$
• الناتج: $10 \times 9 \times 8 = 720$

قانون عام لمضروب العدد $n$

• مضروب $n$ (أي عدد) يتمثل بفتح المضروب بالتدريج:

  $$n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times \ldots \times 1$$

• إذا كان لدينا مضروب $(n+1)$، نبدأ بـ $n+1$ ثم نطرح واحد كل مرة بالتسلسل.

أسئلة إيجاد قيمة $n$

أسلوب الحل

1. عند إعطائك كسر مضروب على مضروب، افتح المضروب الأكبر حتى تصل إلى المضروب الأصغر.
2. بعد الاختصار، حل المعادلة الناتجة بالتوزيع والتجربة أو بالتحليل.

أمثلة

مثال 1:
حل:

$$\frac{n!}{(n-2)!} = 6$$

نفتح $n!$:

$$n \times (n-1) \times (n-2)!$$

نختصر $(n-2)!$ مع $(n-2)!$، يتبقى:

$$n \times (n-1) = 6$$

نوزع:

$$n^2 – n = 6$$

ننقل 6 إلى الطرف الآخر:

$$n^2 – n – 6 = 0$$

نحلل بالتجربة:

$$(n-3)(n+2) = 0$$

نأخذ القيم:

• $n = 3$ (مقبولة لأن المضروب للعدد الموجب فقط)
• $n = -2$ (مرفوضة لأنها سالبة)

الإجابة: $n = 3$

مثال 2:
حل:

$$\frac{n!}{(n-2)!} = 42$$

بنفس الطريقة:

• نفتح $n!$
• نختصر
• نحصل على معادلة
• نحل بالتجربة
• نجد أن $n = 7$

أسئلة تحليل العدد لإيجاد المضروب

الطريقة

• إذا كان المعطى مضروب $n$ يساوي عدداً (مثلاً 24 أو 120 أو 720)، نقوم بتحليل العدد إلى عوامله، حتى نكتشف المضروب لأي عدد يطابقه.

مثال 1:
إذا كان:

$$n! = 24$$

نحلل 24:

$$24 = 4 \times 3 \times 2 \times 1$$

أي:

$$4! = 24$$

إذن: $n = 4$.

مثال 2:
إذا كان:

$$n! = 720$$

نحلل 720:

$$720 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$$

أي:

$$6! = 720$$

إذن: $n = 6$.

ملاحظات مهمة:

• المضروب يعرف فقط للأعداد الطبيعية الموجبة.
• عند وجود مضروب لمعادلة تحتوي على جمع أو طرح، يجب أولاً التخلص من الإشارات خارج القوس قبل حل المضروب.
• المضروب لا يوزع على الجمع أو الطرح داخل القوس.

أسئلة تدريبية (واجب بيتي)

• احسب: $\frac{7!}{5!}$
• احسب: $\frac{11!}{9!}$
• جد قيمة $n$ إذا كان $\frac{n!}{(n-3)!} = 60$
• جد قيمة $n$ إذا كان $n! = 5040$
• جد قيمة $n$ إذا كان $\frac{n+1!}{n!} = 10$

الخاتمة

بهذا نكون قد أكملنا شرح موضوع مضروب العدد مع أمثلة توضيحية وأسئلة وزارية وتمارين تدريبية. نتمنى لكم النجاح والتفوق الدائم، ولا تنسوا الدعاء لنا بالصحة والعافية حتى نستمر بتقديم الأفضل لكم.