إيجاد الحد الذي يحوي متغيرًا أو الحد الخالي من متغير في مفكوك ذات الحدين

أهلاً بكم طلابنا الأعزاء في شرح جديد من دروس مفكوك ذات الحدين. في هذه المحاضرة سنتعلم كيفية إيجاد حد معين في مفكوك تعبير جبري مرفوع لقوة معينة، مثل (a + b)^n، مع التركيز على:

• إيجاد الحد الذي يحوي متغيرًا محددًا مثل a⁸ أو x⁴.
• إيجاد معامل حد معين.
• إيجاد الحد الخالي من المتغير.

كل ذلك باستخدام قاعدة مفكوك ذات الحدين والنظرية العامة لحساب حدود المفكوك.

تعريف أساسي

مفكوك ذات الحدين هو طريقة للتوسيع الجبري لتعبير مثل (a + b)ⁿ بحيث يتم تمثيله بمجموعة من الحدود المجمعة وفقًا لمعاملات ثنائية.

طريقة إيجاد الحد الذي يحوي a⁸ في مفكوك (3 + a²)⁸

نص السؤال:

جد الحد الذي يحوي a⁸ في مفكوك (3 + a²)^8 ثم جد معامله.

الحل:

• نعلم أن قاعدة الحد العام في مفكوك (a + b)ⁿ هي:

  $$T_r = C(n, r-1) \times (الحد الأول)^{n-r+1} \times (الحد الثاني)^{r-1}$$حيث:

  • $C(n, r-1)$ هو معامل ثنائي (التوافيق).
  • $n$ هو الأس.
  • $r$ هو رتبة الحد.
• في هذا السؤال:
  • n = 8
  • الحد الأول = 3
  • الحد الثاني = a²
• نريد أن يكون أس $a$ هو 8.

بما أن الأس ينتج من $(a^2)^{r-1}$، إذًا:

$$2(r-1) = 8$$

نحل المعادلة:

$$r-1 = 4$$ $$r = 5$$

أي أن الحد المطلوب هو الحد الخامس.

الحد هو:

$$C(8, 4) \times (3)^{8-5+1} \times (a^2)^{5-1}$$

أي:

$$C(8,4) \times (3)^4 \times (a^2)^4$$

نحسب الآن:

• $C(8,4) = 70$
• $3^4 = 81$
• $(a^2)^4 = a^8$

إذًا:

$$70 \times 81 \times a^8 = 5670a^8$$

الإجابة:
الحد الذي يحوي a⁸ هو $5670a^8$
ومعامله هو 5670.

طريقة إيجاد الحد الذي يحوي x⁴ في مفكوك (1 + x²)⁶

نص السؤال:

جد الحد الذي يحوي x⁴ في مفكوك (1 + x²)^6 ثم جد معامله.

الحل:

• نستخدم نفس القاعدة العامة:

$$T_r = C(n, r-1) \times (الحد الأول)^{n-r+1} \times (الحد الثاني)^{r-1}$$

• لدينا:
  • n = 6
  • الحد الأول = 1
  • الحد الثاني = x²
• نريد أن يكون أس x هو 4.

نحل:

$$2(r-1) = 4$$

بالتقسيم على 2:

$$r-1 = 2$$ $$r = 3$$

أي أن الحد المطلوب هو الحد الثالث.

نكتب:

$$C(6,2) \times (1)^{6-3+1} \times (x^2)^2$$

نحسب:

• $C(6,2) = 15$
• $(1)^4 = 1$
• $(x^2)^2 = x^4$

إذًا:

$$15 \times 1 \times x^4 = 15x^4$$

الإجابة:
الحد الذي يحوي x⁴ هو $15x^4$
ومعامله هو 15.

طريقة إيجاد معامل y² في مفكوك $(x^3 + \frac{2}{x^2})^9$

نص السؤال:

جد معامل $y^2$ في مفكوك $(x^3 + \frac{2}{x^2})^9$.

الحل:

• المفكوك يتبع القاعدة:

$$T_r = C(9, r-1) \times (x^3)^{9-r+1} \times \left(\frac{2}{x^2}\right)^{r-1}$$

نريد أن نجد الحد الذي يحتوي على $x^2$، أي أس $x$ يجب أن يكون 2.

نحسب أس x في الحد العام:

$$3(9-r+1) + (-2)(r-1)$$

نوزع:

$$3(10-r) -2(r-1) = 30 -3r -2r +2 = 32 -5r$$

نجعل الأس مساويًا لـ2:

$$32-5r=2$$

نحل:

$$-5r = -30$$ $$r = 6$$

أي الحد السادس.

نحسب:

• $C(9,5) = 126$
• $(x^3)^4 = x^{12}$
• $(2/x^2)^5 = 2^5 / x^{10} = 32/x^{10}$

نضرب:

$$126 \times x^{12} \times \frac{32}{x^{10}} = 126 \times 32 \times x^2$$ $$= 4032x^2$$

الإجابة:
معامل $x^2$ هو 4032.

طريقة إيجاد الحد الخالي من x في مفكوك $(x^2 – \frac{1}{x})^{15}$

نص السؤال:

جد الحد الخالي من x في مفكوك $(x^2 – \frac{1}{x})^{15}$.

ملاحظة مهمة:

عندما يطلب الحد الخالي من متغير (مثل x)، يعني أن أس المتغير = 0.

الحل:

نحسب أس x في الحد العام:

$$2(15-r+1) + (-1)(r-1)$$

نوزع:

$$2(16-r) – (r-1) = 32 -2r -r +1 = 33 -3r$$

نجعل الأس صفر:

$$33 -3r = 0$$ $$3r = 33$$ $$r = 11$$

أي أن الحد الحادي عشر هو الحد الخالي من x.

نحسب:

• $C(15,10) = 3003$
• $(x^2)^5 = x^{10}$
• $(-1/x)^10 = (-1)^{10}/x^{10} = 1/x^{10}$

بالتالي:

$$3003 \times x^{10} \times \frac{1}{x^{10}} = 3003$$

الإجابة:
الحد الخالي من x هو 3003.

خاتمة

بهذا نكون قد تعرفنا على الطرق العامة والخطوات الأساسية لإيجاد:

• حد معين يحوي متغيرًا بأس معين.
• معامل حد معين في مفكوك ذات الحدين.
• الحد الخالي من متغير في المفكوك.

نصيحة هامة:
دائمًا عند حل مثل هذه الأسئلة، ابدأ بحساب أس المتغير المطلوب ثم استخرج رتبة الحد، وبعدها استخدم قاعدة المفكوك بدقة لإيجاد المعامل أو الحد المطلوب.