شرح المشتقة باستخدام التعريف – الدوال الخطية والكسرية للصف السادس الأدبي

نكمل معكم شرح موضوع المشتقة باستخدام التعريف. سنتناول اليوم شرحًا مفصلًا لطريقة إيجاد مشتقة الدوال الخطية والكسرية باستخدام التعريف، مع أمثلة عملية وأسئلة تدريبية.

تعريف المشتقة باستخدام التعريف

عندما يُطلب منك إيجاد المشتقة باستخدام التعريف، يجب عليك أولاً أن تبدأ بكتابة قانون المشتقة وهو:

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) – f(x)}{\Delta x}$$

هذا القانون ضروري وأساسي لحل أي سؤال يتطلب استخدام التعريف.

خطوات الحل باستخدام التعريف

1. كتابة قانون المشتقة: كما ذكرنا أعلاه، نبدأ بكتابة قانون المشتقة.
2. التعويض بالدالة: نعوض في القانون بالدالة المعطاة، حيث نستبدل كل $x$ بـ $x + \Delta x$.
3. تبسيط المقدار: نبسط المقدار في البسط (طرح الدالتين) ونسعى لاختصار $\Delta x$ في البسط والمقام.
4. التعويض بالقيمة صفر: بعد الاختصار، نعوض $\Delta x = 0$ للحصول على المشتقة النهائية.

مثال تطبيقي على دالة كثيرة الحدود

السؤال: جد المشتقة للدالة $f(x) = x^2 + 5x$ باستخدام التعريف.

الحل:

• نكتب قانون المشتقة:

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) – f(x)}{\Delta x}$$

• نحسب $f(x+\Delta x)$:

$$(x+\Delta x)^2 + 5(x+\Delta x)$$

نوزع الحدود:

$$= x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 5x + 5\Delta x$$

• الآن نطرح $f(x)$:

$$[x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 5x + 5\Delta x] – [x^2 + 5x]$$

• نحذف الحدود المتشابهة ( $x^2$ مع $x^2$ و $5x$ مع $5x$)، فيبقى:

$$2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 5\Delta x$$

• في البسط نلاحظ أن هناك عامل مشترك $\Delta x$، فنأخذه خارج القوس:

$$\Delta x (2x + \Delta x + 5)$$

• الآن نختصر $\Delta x$ مع مقام $\Delta x$، فيتبقى:

$$2x + \Delta x + 5$$

• نعوض الآن $\Delta x = 0$:

$$f'(x) = 2x + 5$$

ملاحظة هامة

عند تبسيط البسط، إذا كان هناك أكثر من حد يحتوي على $\Delta x$، قم بسحب $\Delta x$ عامل مشترك لتسهيل الاختصار.

شرح مبسط لتوحيد المقامات عند الدوال الكسرية

عندما تتعامل مع دوال كسرية مثل:

$$\frac{1}{x+\Delta x} – \frac{1}{x}$$

يجب عليك توحيد المقامات. وطريقة توحيد المقامات هي ضرب المقامين ببعض:

$$(x+\Delta x)(x)$$

نكتب المقام الجديد، ثم نضرب كل بسط في مقام الكسر الآخر. بعد ذلك نبسط البسط ونوزع الإشارات بعناية.

مثال على دالة كسرية

السؤال: جد المشتقة للدالة $f(x) = \frac{1}{x}$ باستخدام التعريف.

الحل:

• نكتب قانون المشتقة:

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{1}{x+\Delta x} – \frac{1}{x}}{\Delta x}$$

• نوحد المقامات:

$$= \frac{x – (x+\Delta x)}{x(x+\Delta x)}$$

• نبسط البسط:

$$= \frac{-\Delta x}{x(x+\Delta x)}$$

• نحصل على:

$$\frac{-\Delta x}{\Delta x \times x(x+\Delta x)}$$

• نختصر $\Delta x$ من البسط والمقام:

$$= \frac{-1}{x(x+\Delta x)}$$

• نعوض $\Delta x = 0$:

$$f'(x) = \frac{-1}{x^2}$$

مثال آخر على دالة كسرية متقدمة

السؤال: جد المشتقة للدالة $f(x) = \frac{3}{x-1}$ باستخدام التعريف.

الحل:

• نكتب قانون المشتقة:

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{3}{x+\Delta x – 1} – \frac{3}{x-1}}{\Delta x}$$

• نوحد المقامات:

المقام الجديد:

$$(x-1)(x+\Delta x-1)$$

• نضرب بسط كل كسر بمقام الكسر الآخر:

$$3(x-1) – 3(x+\Delta x-1)$$

• نبسط البسط:

$$= 3x-3 – 3x – 3\Delta x + 3$$

نختصر:

$$= -3\Delta x$$

• إذن:

$$= \frac{-3\Delta x}{\Delta x(x-1)(x+\Delta x-1)}$$

• نختصر $\Delta x$:

$$= \frac{-3}{(x-1)(x+\Delta x-1)}$$

• نعوض $\Delta x = 0$:

$$f'(x) = \frac{-3}{(x-1)^2}$$

نصائح مهمة لحل هذه الأسئلة

• ركز جيدًا على عمليات التبسيط خصوصًا توزيع الإشارات السالبة.
• تأكد من توحيد المقامات بطريقة صحيحة قبل التبسيط.
• لا تنسَ أن تعوض $\Delta x = 0$ فقط بعد عملية التبسيط والاختصار.

خاتمة

بهذا نكون قد شرحنا بشكل مفصل طريقة إيجاد المشتقة باستخدام التعريف للدوال الخطية والكسرية مع أمثلة عملية. المحاضرة القادمة ستكون حول اشتقاق الدوال الجذرية بإذن الله.

لا تنسَ أن تتدرب على الأمثلة الموجودة في التمارين حتى تتقن الموضوع. إذا واجهت أي صعوبة، يمكنك إعادة مشاهدة الشرح حتى تتأكد من فهمك.

نتمنى لكم دوام التوفيق والنجاح.