إيجاد معادلة المماس – التطبيقات الهندسية – السادس الأدبي

بسم الله الرحمن الرحيم.
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته، طلاب الصف السادس الأدبي الأعزاء.
موضوعنا اليوم من الفصل الثالث: التطبيقات الهندسية، وبالتحديد إيجاد معادلة المماس.
هذا الموضوع كان محذوفًا العام الماضي، ولكن من المحتمل أن يُطلب عليه سؤال هذا العام بقيمة عشر درجات.

لذلك، نركز اليوم على شرح خطوات الحل بالتفصيل مع أمثلة مبسطة.

خطوات إيجاد معادلة المماس

عندما يُطلب منك في السؤال: “جد معادلة المماس”، يجب اتباع ثلاث خطوات رئيسية:

1. إيجاد النقطة (x, y):
   • أي نقطة تتكون من إحداثيين: $x$ و $y$.
   • غالبًا يعطيك السؤال قيمة $x$، وتحتاج أنت لحساب $y$ بالتعويض في الدالة الأصلية.
2. إيجاد الميل (m):
   • الميل هو المشتقة الأولى للدالة.
   • بعد اشتقاق الدالة، تعوض قيمة $x$ المعطاة في السؤال للحصول على الميل.
3. كتابة معادلة المماس:
   • نستخدم الصيغة العامة:

     $$y – y_1 = m (x – x_1)$$

   • حيث $(x_1, y_1)$ هي النقطة التي وجدناها و$m$ هو الميل الذي حسبناه.

مثال تطبيقي (مثال وزاري مكرر)

السؤال:
جد معادلة المماس للمنحني $f(x) = x^2 – 5x + 2$ عند $x = 1$.

الحل:

أولاً: إيجاد النقطة

• معطى: $x = 1$.
• لإيجاد $y$، نعوض $x = 1$ في الدالة الأصلية:

  $$f(1) = (1)^2 – 5(1) + 2 = 1 – 5 + 2 = -2$$

• إذن النقطة هي: $(1, -2)$.

ثانيًا: إيجاد الميل

• نشتق الدالة:

  $$f'(x) = 2x – 5$$

• ثم نعوض $x = 1$:

  $$f'(1) = 2(1) – 5 = -3$$

• إذن الميل $m = -3$.

ثالثًا: كتابة معادلة المماس

نطبق القانون:

$$y – y_1 = m(x – x_1)$$

نعوض القيم:

$$y – (-2) = -3(x – 1)$$

نبسط المعادلة:

$$y + 2 = -3x + 3$$

ننقل كل شيء إلى طرف واحد:

$$3x + y – 1 = 0$$

وهذه هي معادلة المماس المطلوبة.

واجب تطبيقي

السؤال:
جد معادلة المماس للمنحني $f(x) = \sqrt[3]{x+3}$ عند $x = 5$.

خطوات الحل:

أولاً: إيجاد النقطة

• معطى: $x = 5$.
• نعوض لإيجاد $y$:

  $$f(5) = \sqrt[3]{5+3} = \sqrt[3]{8} = 2$$

• إذن النقطة: $(5, 2)$.

ثانيًا: إيجاد الميل

• نحول الدالة الجذرية إلى صورة أسية:

  $$f(x) = (x+3)^{\frac{1}{3}}$$

• نشتق باستخدام قاعدة القوة:

  $$f'(x) = \frac{1}{3}(x+3)^{-\frac{2}{3}}$$

• نعوض $x = 5$:

  $$f'(5) = \frac{1}{3}(5+3)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3}(8)^{-\frac{2}{3}}$$

• نحسب:
  • الجذر التكعيبي لـ8 هو 2.
  • $2^2 = 4$.
  • إذن:

    $$(8)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{4}$$

  • بالتالي:

    $$f'(5) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$$

• إذن الميل $m = \frac{1}{12}$.

ثالثًا: كتابة معادلة المماس

نطبق القانون:

$$y – y_1 = m(x – x_1)$$

نعوض:

$$y – 2 = \frac{1}{12}(x – 5)$$

ملاحظة: عند وجود كسر في الميل، يُفضل ضرب جميع الأطراف بالمقام (12) لتسهيل الترتيب:

$$12(y – 2) = x – 5$$

نوزع 12:

$$12y – 24 = x – 5$$

نرتب:

$$– x + 12y – 19 = 0$$

وهذه هي معادلة المماس النهائية.

ملاحظات مهمة عند إيجاد معادلة المماس

• النقطة ضرورية جدًا: لا يمكنك إيجاد معادلة المماس بدون معرفة إحداثيي النقطة $x$ و$y$.
• الميل يحسب بالاشتقاق: اشتق الدالة مرة واحدة ثم عوض قيمة $x$.
• التعويض في القانون مباشرة: بعد معرفة النقطة والميل.
• عند وجود كسر في الميل: اضرب أطراف المعادلة بالمقام لتسهيل الترتيب.

خلاصة المحاضرة

كل سؤال إيجاد معادلة المماس يتطلب:

• نقطة ($x$, $y$) عبر التعويض.
• ميل عبر الاشتقاق وتعويض $x$.
• صيغة معادلة المماس عبر القانون:

  $$y – y_1 = m(x – x_1)$$

إذا فهمت هذه الخطوات، يمكنك حل أي سؤال مشابه بسهولة.