اثرائيات مبرهنة ديموافر / محاضرة 34

 

 

تطبيق مبرهنة ديموافر في تبسيط عدد مركب

المقدمة: تبرهن مبرهنة ديموافر على أن القوى في الأعداد المركبة يمكن تبسيطها باستخدام التمثيل القطبي، وهي مفيدة جدًا في الحسابات المتعلقة بالتحليل المركب والهندسة القطبية. في هذا التقرير، سنقوم بتبسيط العدد المركب المعطى باستخدام هذه المبرهنة.

المسألة: نريد تبسيط العدد المركب التالي:

(2[cos⁡(5π24)+isin⁡(5π24)])−6\left( \sqrt{2} \left[ \cos\left(\frac{5\pi}{24}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{24}\right) \right] \right)^{-6}

الحل باستخدام مبرهنة ديموافر:

  1. كتابة العدد على الصورة القطبية:

    z=r[cos⁡(θ)+isin⁡(θ)]z = r \left[ \cos(\theta) + i\sin(\theta) \right]حيث:

    • r=2r = \sqrt{2}
    • θ=5π24\theta = \frac{5\pi}{24}

    وبما أن المطلوب هو رفع المعكوس للقوة 6، فهذا يعادل:

    (reiθ)−6=1(reiθ)6\left( r e^{i\theta} \right)^{-6} = \frac{1}{(r e^{i\theta})^6}

  2. تطبيق مبرهنة ديموافر: باستخدام مبرهنة ديموافر:

    (reiθ)n=rneinθ(r e^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}وبما أن لدينا القوة السالبة -6:

    (2ei5π24)−6=(2)−6e−i6×5π24\left( \sqrt{2} e^{i\frac{5\pi}{24}} \right)^{-6} = \left(\sqrt{2}\right)^{-6} e^{-i6 \times \frac{5\pi}{24}}

  3. تبسيط القيم:
    • (2)−6=2−3=18(\sqrt{2})^{-6} = 2^{-3} = \frac{1}{8}
    • −6×5π24=−30π24=−5π4-6 \times \frac{5\pi}{24} = -\frac{30\pi}{24} = -\frac{5\pi}{4}

    إذًا:

    (2ei5π24)−6=18e−i5π4\left( \sqrt{2} e^{i\frac{5\pi}{24}} \right)^{-6} = \frac{1}{8} e^{-i\frac{5\pi}{4}}

  4. تحويل إلى الصيغة الديكارتية: نعلم أن:

    e−i5π4=cos⁡(−5π4)+isin⁡(−5π4)e^{-i\frac{5\pi}{4}} = \cos\left(-\frac{5\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{5\pi}{4}\right)وبما أن:

    cos⁡(−5π4)=−22,sin⁡(−5π4)=22\cos\left(-\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\left(-\frac{5\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}فإن:

    e−i5π4=−22+i22e^{-i\frac{5\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}وبضرب كل شيء في 18\frac{1}{8}:

    18(−22+i22)=−216+i216\frac{1}{8} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{16} + i\frac{\sqrt{2}}{16}

النتيجة النهائية:

(2[cos⁡(5π24)+isin⁡(5π24)])−6=−216+i216\left( \sqrt{2} \left[ \cos\left(\frac{5\pi}{24}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{24}\right) \right] \right)^{-6} = -\frac{\sqrt{2}}{16} + i\frac{\sqrt{2}}{16}

الخاتمة: أثبتنا باستخدام مبرهنة ديموافر أن تبسيط هذا العدد المركب يؤدي إلى النتيجة النهائية الموضحة أعلاه. يظهر هذا التطبيق كيف أن المبرهنة تسهل عمليات الحساب المعقدة في الأعداد المركبة، خاصة عند التعامل مع القوى والجذور.

 

السوال التالي

 

حساب العدد المركب باستخدام مبرهنة ديموافر

المقدمة: تبرز مبرهنة ديموافر كأداة رياضية فعالة في حساب القوى للعدد المركب المكتوب في الشكل المثلثي. في هذا التقرير، سنستخدم هذه المبرهنة لحساب القوة العاشرة للعدد المركب:

Z=[sin⁡(π/3)+icos⁡(π/3)]10Z = \left[\sin(\pi/3) + i\cos(\pi/3)\right]^{10}

الخطوة 1: كتابة العدد في الشكل المثلثي بما أن العدد المركب معطى باستخدام الدوال المثلثية، يمكننا إعادة كتابته كما يلي: Z=sin⁡(π/3)+icos⁡(π/3)Z = \sin(\pi/3) + i \cos(\pi/3) وباستخدام القيم المثلثية: sin⁡(π/3)=32,cos⁡(π/3)=12\sin(\pi/3) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos(\pi/3) = \frac{1}{2} إذن: Z=32+i⋅12Z = \frac{\sqrt{3}}{2} + i \cdot \frac{1}{2}

الخطوة 2: حساب المقياس والزاوية r=(32)2+(12)2=34+14=1=1r = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1 θ=tan⁡−1(1232)=tan⁡−1(13)=π6\theta = \tan^{-1} \left( \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\pi}{6} بذلك يمكن إعادة كتابة العدد المركب في الشكل القطبي: Z=1(cos⁡(π/6)+isin⁡(π/6))Z = 1 (\cos (\pi/6) + i \sin (\pi/6))

الخطوة 3: استخدام مبرهنة ديموافر تنص مبرهنة ديموافر على أنه إذا كان: Z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)Z = r (\cos \theta + i \sin \theta) فإن: Zn=rn(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))Z^n = r^n (\cos (n\theta) + i \sin (n\theta)) بما أن r=1r = 1، فإن: Z10=cos⁡(10×π/6)+isin⁡(10×π/6)Z^{10} = \cos (10 \times \pi/6) + i \sin (10 \times \pi/6)

الخطوة 4: حساب الزاوية 10×π6=10π6=5π310 \times \frac{\pi}{6} = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3} وباستخدام القيم المثلثية: cos⁡5π3=cos⁡(−π3)=cos⁡π3=12\cos \frac{5\pi}{3} = \cos \left(-\frac{\pi}{3} \right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} sin⁡5π3=sin⁡(−π3)=−sin⁡π3=−32\sin \frac{5\pi}{3} = \sin \left(-\frac{\pi}{3} \right) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}

النتيجة النهائية: Z10=12−i32Z^{10} = \frac{1}{2} – i \frac{\sqrt{3}}{2} وبذلك يكون الناتج مكتوبًا في الشكل المثلثي المطلوب.

المحاضرة السابق
رجوع إلى الدرس
المحاضرة التالي