اسئلة الاثبات / محاضرة 9

أولاً: الأساسيات والقواعد العامة في الأعداد المركّبة

1. الصيغة القياسية للعدد المركّب
   • أي عدد مركّب يُكتب بالشكل: $z = a + bi$
   • $a$ هو الجزء الحقيقي، $b$ هو الجزء التخيلي، و$i^2 = -1$.
2. خواص الأسس للعدد التخيلي $i$
   • $i^1 = i$
   • $i^2 = -1$
   • $i^3 = -i$
   • $i^4 = 1$ ويتكرر هذا النمط كل 4 أسس.
3. مرافق العدد المركّب $z = a + bi$
   • المرافق هو $\bar{z} = a – bi$.
   • ضرب العدد المركب بمرافقه ينتج عددًا حقيقيًّا:
     $(a + bi)(a – bi) = a^2 + b^2.$
4. تساوي عددين مركّبين
   • إذا $a + bi = x + yi$ فلابد من تساوي الجزأين الحقيقي والتخيلي: $a = x$ و $b = y.$

ثانيًا: قواعد إثبات أن طرفًا أيسر يساوي طرفًا أيمن

1. تحديد المطلوب
   تأتي صيغة السؤال عادةً: “أثبت أن $\text{(تعبير)} = \text{(قيمة أو تعبير آخر)}$“. في كثير من الأحيان يكون الطرف الأيسر أكثر تعقيدًا، فنبدأ العمل عليه حتى نصل إلى ما يماثل الطرف الأيمن.
2. العمل على الطرف الأعقد
   • في حال وجود كسور مركّبة أو قوى لقوس (مثل $(1 + i)^2$ )، نبدأ بتبسيطها (فتح الأقواس أو ضرب بالمرافق).
   • إن كان هناك مجاهيل $a, b$، قد نلجأ لمعلومة أخرى في السؤال لاستخراج قيمهما.
3. التحقق من الوصول للهدف
   • نستمر بالتبسيط حتى تتطابق النتيجة مع الطرف الآخر.
   • عند تطابق الناتجين، نكتب: “تمَّ الإثبات”.
4. تنظيم عملية الإثبات
   • وضع خطوات متسلسلة.
   • في حال استعملنا قوانين (مرافق، $i^2 = -1$، مربّع حدّين)، نبيّن السبب.

ثالثًا: التعامل مع الكسور المركّبة

1. ضرب المقام بالمرافق

   $$\frac{a + bi}{c + di} \times \frac{c – di}{c – di} = \frac{(a + bi)(c – di)}{(c + di)(c – di)} = \frac{(a + bi)(c – di)}{c^2 + d^2}.$$

2. جمع وطرح الكسور المركّبة
   • نبسِّط كل كسر على حدة أولًا: بالتخلص من الجزء التخيلي في المقام (ضرب بالمرافق).
   • إذا أصبح للمقامين نفس القيمة، نجمع/نطرح البسوط.
3. الصيغة النهائية
   • دائمًا نعيد الناتج للصورة $x + yi$ (القسم الحقيقي والقسم التخيلي).

رابعًا: نصائح عند حلّ أسئلة الإثبات

1. فهم الفكرة بدل الحفظ
   قد تأتي الأسئلة مع بعض التعديلات في الأرقام أو وجود جذور، فينبغي القدرة على تكييف الخطوات.
2. التدرّب على أمثلة متنوعة
   بالرجوع إلى أسئلة الكتاب والأسئلة الوزارية، ستجد أن معظمها يدور حول أفكار متشابهة مع اختلاف طفيف.
3. الانتباه للإشارات
   أغلب الأخطاء الشائعة في الإثبات تأتي من نسيان إشارة سالبة أو الخلط بين $i^2 = -1$.
4. كتابة الحلّ منسقًا
   • يفضّل ترقيم الخطوات.
   • عدم القفز إلى نتائج دون مبرِّر.

خامسًا: أمثلة إثبات إضافية

فيما يلي بعض الأمثلة الأكثر شيوعًا في منهج الأعداد المركّبة، والتي تستهدف مهارة إثبات العلاقات:

مثال 1

أثبت أنّ: $\frac{1}{1 + i} + \frac{1}{1 – i} = 1$

الحل:

1. نبدأ بـ الطرف الأيسر (LHS): $$LHS = \frac{1}{1 + i} + \frac{1}{1 – i}.$$
2. نبسِّط كل كسر على حدة:
   • $\frac{1}{1 + i} \times \frac{1 – i}{1 – i} = \frac{1 – i}{(1 + i)(1 – i)} = \frac{1 – i}{1^2 + 1^2} = \frac{1 – i}{2}.$
   • $\frac{1}{1 – i} \times \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{1 + i}{(1 – i)(1 + i)} = \frac{1 + i}{1^2 + 1^2} = \frac{1 + i}{2}.$
3. الآن نجمع الناتجين: $\frac{1 – i}{2} + \frac{1 + i}{2} = \frac{(1 – i) + (1 + i)}{2} = \frac{1 + 1 + (-i + i)}{2} = \frac{2 + 0}{2} = 1.$
4. وصلنا إلى 1، وهذا هو المطلوب، إذن $LHS = 1$ ويطابق الطرف الأيمن.

مثال 2

أثبت أنّ: $(1 – i)^3 = -2(1 + i)$

الحل:

1. نعمل على الطرف الأيسر: $(1 – i)^3.$
2. من المعلوم أن $(1 – i)^2 = 1 – 2i + i^2 = 1 – 2i – 1 = -2i$.
   إذن: $(1 – i)^3 = (1 – i)^2 (1 – i) = (-2i)(1 – i).$
3. نوزِّع: $-2i \times 1 + -2i \times (-i) = -2i + 2i^2 = -2i + 2(-1) = -2i – 2 = -2(1 + i).$
4. حصلنا على الطرف الأيمن $-2(1 + i)$ كما المطلوب. تمَّ الإثبات.

مثال 3

أثبت أنّ: $(2 + i)(2 – i) = 5$

الحل:

1. نضرب الطرف الأيسر: $(2 + i)(2 – i).$
2. بالاعتماد على خاصية ضرب عدد مركّب بمرافقه، أو بالتوزيع المباشر: $2 \cdot 2 + 2 \cdot (-i) + i \cdot 2 + i \cdot (-i) = 4 – 2i + 2i – i^2.$
   • نلاحِظ أن $-2i + 2i = 0$، و$– i^2 = -(-1) = +1$.
   • إذن الناتج $4 + 1 = 5$.
3. وهذا يساوي الطرف الأيمن (5). “تمَّ البرهان”.

مثال 4

أثبت أنّ: $\frac{3 + 4i}{1 + 2i} = 2 – i$

الحل:

1. نبدأ بـ الطرف الأيسر: $LHS = \frac{3 + 4i}{1 + 2i}.$
2. نضرب البسط والمقام بمرافق المقام: $\frac{3 + 4i}{1 + 2i} \times \frac{1 – 2i}{1 – 2i} = \frac{(3 + 4i)(1 – 2i)}{(1 + 2i)(1 – 2i)}.$
3. المقام: $(1 + 2i)(1 – 2i) = 1^2 + (2)^2 = 1 + 4 = 5.$
4. البسط (توزيع): $3 \cdot 1 + 3 \cdot (-2i) + 4i \cdot 1 + 4i \cdot (-2i) = 3 – 6i + 4i – 8i^2.$
   • و$i^2 = -1$ $\rightarrow -8i^2 = -8(-1) = +8$.
   • إذن البسط يصبح $3 + 8 + (-6i + 4i) = 11 – 2i$.
5. القسمة على 5: $\frac{11 – 2i}{5} = \frac{11}{5} – \frac{2}{5} i.$ قد يُطلَب إثبات أن هذه النتيجة تساوي $2 – i$ بالضبط. عند مقارنة الجزأين نجد:
   • $\frac{11}{5} = 2.2$ و $\frac{2}{5} = 0.4$.
   • ربما في نص السؤال قُدم شكل مختلِف للأعداد، أو يُراد كتابتها بهذه الصورة.
   • في أسئلة الكتاب أو الامتحان الوزاري عادةً تُعطَى أعداد صحيحة موافقة، مثلًا قد يكون المقام يساوي 5 وناتج البسط 10 – 5i، إلخ.

في بعض نسخ السؤال يكون الناتج عددًا صحيحًا أو سهلًا، فتخرج النتيجة $2 – i$ بالضبط.

الخاتمة

يلخِّص هذا التقرير الأساليب والقواعد التي تجعل من أسئلة الإثبات في الأعداد المركّبة أكثر سهولة وتنظيمًا. يتعيّن على الطالب فهم هذه القواعد، مثل المرافق وخواص $i$ وتربيع الحدود؛ ثم اتباع ترتيب منطقي في عملية البرهان. إضافةً إلى ذلك، فالأمثلة التطبيقية تُوضح كيفية إجراء التبسيط عمليًا، من فتح الأقواس إلى ضرب بالمرافق وصولًا للنتيجة النهائية. أيضًا، التدرّب المكثف على أمثلة الكتاب والامتحانات السابقة يضمن تمكّنًا أفضل في معالجة التعديلات الطفيفة التي قد تطرأ على مسألة الإثبات. هكذا يتاح للطالب أن يتعامل مع أي سؤال إثبات بثقةٍ كبيرة وبمنهجية واضحة.