اساسيات الزوايا + وزاريات خارجية / محاضرة 28

إيجاد قيمة b في العدد المركب

مقدمة: في هذا التقرير، سنحدد قيمة الجزء التخيلي $b$ للعدد المركب $z = -2 + bi$ عندما تكون سعته الأساسية $\theta = \frac{4\pi}{3}$.

المفهوم الرياضي: تمثل السعة (الزاوية القطبية) للعدد المركب $z = a + bi$ العلاقة التالية:

$$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$$

حيث $a$ هو الجزء الحقيقي و$b$ هو الجزء التخيلي.

المعطيات:

• العدد المركب: $z = -2 + bi$
• السعة الأساسية: $\theta = \frac{4\pi}{3}$

إيجاد قيمة b: بما أن $a = -2$، يمكننا تطبيق معادلة السعة:

$$\tan\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \frac{b}{-2}$$

نعلم أن:

$$\tan\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \tan\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)$$

وحيث إن $\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$، فإن:

$$\sqrt{3} = \frac{b}{-2}$$

وبالتالي:

$$b = -2\sqrt{3}$$

النتيجة: إذن، قيمة $b$ هي:

$$b = -2\sqrt{3}$$

الخاتمة: بناءً على المعطيات الرياضية وتحليل السعة القطبية، توصلنا إلى أن الجزء التخيلي للعدد المركب المطلوب هو $-2\sqrt{3}$. هذا يثبت صحة استخدام المفاهيم الأساسية في الأعداد المركبة لإيجاد القيم غير المعروفة.

تقرير حول إيجاد الشكل الجبري والديكارتي لعدد مركب من مقياسه وسعته

مقدمة

تُعد الأعداد المركبة جزءًا أساسيًا من الرياضيات، حيث يمكن تمثيلها بعدة أشكال مثل الشكل الجبري والقطبي والديكارتي. في هذا التقرير، سنقوم بتحليل وإيجاد الشكل الجبري والديكارتي للعدد المركب $Z$ عندما يكون مقياسه معلومًا وكذلك سعته.

المعطيات والمطلوب

لدينا عدد مركب $Z$ تتوفر عنه المعلومات التالية:

• مقياسه: $|Z| = 4$
• سعته: $\theta = \frac{5\pi}{6}$

المطلوب هو إيجاد كل من:

1. الشكل الجبري للعدد المركب.
2. الشكل الديكارتي له.

الحل والتفاصيل

يمكن تمثيل العدد المركب في الصورة القطبية على الشكل التالي:

$$Z = r (\cos \theta + i \sin \theta)$$

حيث $r$ هو المقياس و$\theta$ هي السعة. بالتعويض بالقيم المعطاة:

$$Z = 4 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right)$$

نعلم من قيم الدوال المثلثية أن:

$$\cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

بالتالي:

$$Z = 4 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right)$$

نوزع العدد $4$:

$$Z = -2\sqrt{3} + 2i$$

النتائج

بناءً على الحسابات السابقة، نجد أن:

• الشكل الجبري للعدد المركب هو:

  $$Z = -2\sqrt{3} + 2i$$

• الشكل الديكارتي للعدد المركب يكون:

  $$x = -2\sqrt{3}, \quad y = 2$$

الخاتمة

تمكّنا من تحويل العدد المركب المعطى من صورته القطبية إلى الصورة الجبرية والديكارتية باستخدام العلاقات المثلثية الأساسية. هذه الطريقة تُعد مهمة في العديد من التطبيقات الهندسية والفيزيائية، حيث تُستخدم الأعداد المركبة في تحليل الدوائر الكهربائية وحل المعادلات التفاضلية وتمثيل الإشارات الرقمية.