التكامل المحدد للدوال المثلثية/ محاضرة 18

التكامل المحدد للدوال المثلثية – شرح تفصيلي

التكامل المحدد للدوال المثلثية هو عملية إيجاد المساحة تحت منحنى دالة مثلثية بين حدين معينين. يتم حساب التكامل المحدد باستخدام النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل، والتي تنص على:

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) – F(a)$$

حيث $F(x)$ هو الدالة الأصلية (الدالة التي مشتقتها تساوي $f(x)$).

1. القواعد الأساسية للتكاملات المثلثية

قبل التعامل مع التكامل المحدد، يجب معرفة التكاملات غير المحددة الأساسية للدوال المثلثية:

1. $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$
2. $\int \cos x \, dx = \sin x + C$
3. $\int \tan x \, dx = \ln |\sec x| + C$
4. $\int \cot x \, dx = \ln |\sin x| + C$
5. $\int \sec x \, dx = \ln |\sec x + \tan x| + C$
6. $\int \csc x \, dx = \ln |\csc x – \cot x| + C$

عند حساب التكامل المحدد، نحذف ثابت التكامل $C$ لأنه يلغي نفسه عند طرح القيمتين.

2. حساب التكامل المحدد خطوة بخطوة

لحساب التكامل المحدد، نتبع الخطوات التالية:

1. نوجد الدالة الأصلية $F(x)$.
2. نقيم $F(x)$ عند الحدود العليا والدنيا.
3. نحسب الفرق $F(b) – F(a)$.

مثال 1: حساب التكامل المحدد لـ $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx$

الخطوة 1: إيجاد التكامل غير المحدد

نعلم أن:

$$\int \cos x \, dx = \sin x$$

إذن، الدالة الأصلية هي:

$$F(x) = \sin x$$

الخطوة 2: تطبيق حدود التكامل

نقيم $F(x)$ عند الحدود $0$ و $\frac{\pi}{2}$:

$$F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$$ $$F(0) = \sin 0 = 0$$

الخطوة 3: حساب الفرق

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = 1 – 0 = 1$$

3. تطبيق التكامل المحدد على دوال مثلثية أكثر تعقيدًا

مثال 2: حساب التكامل المحدد لـ $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 x \, dx$

الخطوة 1: استخدام هوية مثلثية

نعلم أن:

$$\tan^2 x = \sec^2 x – 1$$

إذن:

$$\int \tan^2 x \, dx = \int (\sec^2 x – 1) \, dx$$

نعرف أن:

$$\int \sec^2 x \, dx = \tan x$$

و

$$\int 1 \, dx = x$$

إذن:

$$\int \tan^2 x \, dx = \tan x – x$$

الخطوة 2: تطبيق حدود التكامل

$$F(x) = \tan x – x$$

نقيم عند الحدود $x = \frac{\pi}{4}$ و $x = 0$:

$$F\left(\frac{\pi}{4}\right) = \tan \frac{\pi}{4} – \frac{\pi}{4} = 1 – \frac{\pi}{4}$$ $$F(0) = \tan 0 – 0 = 0$$

الخطوة 3: حساب الفرق

$$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 x \, dx = \left(1 – \frac{\pi}{4}\right) – 0 = 1 – \frac{\pi}{4}$$

4. تكاملات محددة باستخدام التعويض

في بعض الحالات، يكون من المفيد استخدام التعويض لحل التكاملات المحددة.

مثال 3: حساب $\int_0^1 \frac{\cos (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx$

الخطوة 1: استخدام التعويض

نضع:

$$t = \sqrt{x} \Rightarrow dt = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx$$

إذن:

$$dx = 2t \, dt$$

وعند تغيير حدود التكامل:

• عندما $x = 0$، فإن $t = 0$.
• عندما $x = 1$، فإن $t = 1$.

بالتعويض نحصل على:

$$I = \int_0^1 \frac{\cos (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx = \int_0^1 \frac{\cos t}{t} \cdot 2t \, dt$$

نختصر $t$:

$$I = 2 \int_0^1 \cos t \, dt$$

الخطوة 2: حساب التكامل

$$\int \cos t \, dt = \sin t$$

إذن:

$$I = 2 \sin t \Big|_0^1$$

الخطوة 3: تطبيق الحدود

$$I = 2 (\sin 1 – \sin 0)$$ $$I = 2 (\sin 1 – 0) = 2 \sin 1$$

5. التكامل المحدد للدوال المثلثية باستخدام التكامل بالتجزئة

في بعض الحالات، نحتاج إلى استخدام التكامل بالتجزئة:

مثال 4: حساب $\int_0^{\pi} x \sin x \, dx$

نستخدم التكامل بالتجزئة:

1. نختار $u = x \Rightarrow du = dx$.
2. نختار $dv = \sin x dx \Rightarrow v = -\cos x$.

$$\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx$$ $$= -x \cos x + \sin x$$

نطبق الحدود:

$$F(x) = -x \cos x + \sin x$$ $$F(\pi) = -\pi \cos \pi + \sin \pi = -\pi (-1) + 0 = \pi$$ $$F(0) = -0 \cdot \cos 0 + \sin 0 = 0$$ $$I = \pi – 0 = \pi$$

الخاتمة

• التكامل المحدد للدوال المثلثية يتطلب معرفة التكاملات الأساسية.
• يمكن تبسيط بعض التكاملات باستخدام الهوية المثلثية.
• في بعض الحالات، نستخدم التعويض أو التكامل بالتجزئة.
• تطبيق حدود التكامل أساسي للحصول على القيم النهائية.

السؤال  هو:

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx$$

لحساب التكامل المحدد:

$$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx$$

الخطوة 1: حساب التكامل غير المحدد

نعلم أن:

$$\int \cos x \, dx = \sin x$$

الخطوة 2: تطبيق حدود التكامل

نطبق نظرية التكامل المحدد:

$$I = \sin x \Big|_0^{\frac{\pi}{2}}$$

أي نحسب الفرق:

$$I = \sin \frac{\pi}{2} – \sin 0$$

الخطوة 3: التعويض بالقيم

نعلم أن:

$$\sin \frac{\pi}{2} = 1$$

و

$$\sin 0 = 0$$

إذن:

$$I = 1 – 0 = 1$$

النتيجة النهائية:

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = 1$$

السؤال هو:

$$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \, dx$$

لحساب التكامل المحدد:

$$I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \, dx$$

الخطوة 1: حساب التكامل غير المحدد

نعلم أن:

$$\int \sec^2 x \, dx = \tan x$$

إذن:

$$I = \tan x \Big|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}$$

الخطوة 2: تطبيق حدود التكامل

نحسب الفرق بين القيمتين عند الحدود:

$$I = \tan \frac{\pi}{4} – \tan \left(-\frac{\pi}{4}\right)$$

الخطوة 3: التعويض بالقيم

نعلم أن:

$$\tan \frac{\pi}{4} = 1$$

و

$$\tan \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$$

إذن:

$$I = 1 – (-1)$$ $$I = 1 + 1 = 2$$

النتيجة النهائية:

$$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \, dx = 2$$

السؤال هو:

$$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \csc^2 x \, dx$$

لحساب التكامل المحدد:

$$I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \csc^2 x \, dx$$

الخطوة 1: حساب التكامل غير المحدد

نعلم أن:

$$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x$$

إذن:

$$I = -\cot x \Big|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$$

الخطوة 2: تطبيق حدود التكامل

نحسب الفرق بين القيمتين عند الحدود:

$$I = -\cot \frac{\pi}{2} + \cot \frac{\pi}{4}$$

الخطوة 3: التعويض بالقيم

نعلم أن:

$$\cot \frac{\pi}{2} = 0$$

و

$$\cot \frac{\pi}{4} = 1$$

إذن:

$$I = – (0) + 1$$ $$I = 1$$

النتيجة النهائية:

$$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \csc^2 x \, dx = 1$$