التكامل غير المحدد للدوال المثلثية/ محاضرة 12

إذا كانت الدالة المثلثية مرفوعة إلى أس $n$، ومشتقتها موجودة بجوارها، فإن التكامل يُحسب باستخدام قاعدة التكامل بالتعويض.

القاعدة الأساسية:

إذا كانت الدالة على الشكل:

$$\int [f(x)]^n \cdot f'(x) \, dx$$

فيمكننا استخدام التعويض $u = f(x)$، وبالتالي:

$$du = f'(x) dx$$

فيصبح التكامل:

$$\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$$

وأخيرًا نعيد $u$ إلى $f(x)$.

أمثلة على التكامل:

المثال الأول:

إذا كان لدينا:

$$\int (\sin x)^3 \cos x \, dx$$

نلاحظ أن مشتقة $\sin x$ هي $\cos x$، لذا نضع:

$$u = \sin x \quad \Rightarrow \quad du = \cos x \, dx$$

فيصبح التكامل:

$$\int u^3 \, du = \frac{u^4}{4} + C$$

وبإرجاع $u$ إلى $\sin x$:

$$\frac{(\sin x)^4}{4} + C$$

المثال الثاني:

إذا كان لدينا:

$$\int (\cos x)^5 (-\sin x) \, dx$$

نلاحظ أن مشتقة $\cos x$ هي $-\sin x$، لذا نضع:

$$u = \cos x \quad \Rightarrow \quad du = -\sin x \, dx$$

فيصبح التكامل:

$$\int u^5 \, du = \frac{u^6}{6} + C$$

وبإرجاع $u$ إلى $\cos x$:

$$\frac{(\cos x)^6}{6} + C$$

المثال الثالث:

إذا كان لدينا:

$$\int (\tan x)^4 \sec^2 x \, dx$$

نلاحظ أن مشتقة $\tan x$ هي $\sec^2 x$، لذا نضع:

$$u = \tan x \quad \Rightarrow \quad du = \sec^2 x \, dx$$

فيصبح التكامل:

$$\int u^4 \, du = \frac{u^5}{5} + C$$

وبإرجاع $u$ إلى $\tan x$:

$$\frac{(\tan x)^5}{5} + C$$

ملاحظة:

في حالة عدم توفر المشتقة بجوار الدالة، يمكن اللجوء إلى طرق أخرى مثل التكامل بالتجزئة أو استخدام الهوية المثلثية المناسبة.

أسئلة مهمة

السؤال هو:

أوجد التكامل التالي:

$$\int \tan^6(x) \sec^2(x) \, dx$$

لحل التكامل التالي:

$$I = \int \tan^6(x) \sec^2(x) \, dx$$

الخطوة 1: استخدام التعويض المناسب

نلاحظ أن مشتقة $\tan x$ هي $\sec^2 x$، لذا نضع:

$$u = \tan x$$ $$du = \sec^2 x \, dx$$

الخطوة 2: إعادة كتابة التكامل

بالتعويض نحصل على:

$$I = \int u^6 \, du$$

الخطوة 3: حساب التكامل

نستخدم قاعدة التكامل:

$$\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$$

فنحصل على:

$$I = \frac{u^7}{7} + C$$

الخطوة 4: إعادة المتغير الأصلي

بإرجاع $u = \tan x$:

$$I = \frac{\tan^7(x)}{7} + C$$

الإجابة النهائية:

$$\int \tan^6(x) \sec^2(x) \, dx = \frac{\tan^7(x)}{7} + C$$

سؤال وزاري

السؤال هو:

أوجد التكامل التالي:

$$\int \frac{\cos x}{\sqrt[3]{\sin x}} \, dx$$

لحل التكامل التالي:

$$I = \int \frac{\cos x}{\sqrt[3]{\sin x}} \, dx$$

الخطوة 1: استخدام التعويض المناسب

نلاحظ أن مشتقة $\sin x$ هي $\cos x$، لذا نستخدم التعويض:

$$u = \sin x$$ $$du = \cos x \, dx$$

الخطوة 2: إعادة كتابة التكامل

بالتعويض نحصل على:

$$I = \int \frac{du}{\sqrt[3]{u}}$$

نحول الجذر التكعيبي إلى صورة أسس:

$$I = \int u^{-\frac{1}{3}} \, du$$

الخطوة 3: حساب التكامل

نستخدم قاعدة التكامل:

$$\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C, \quad \text{حيث } n \neq -1$$

في حالتنا:

$$n = -\frac{1}{3}, \quad n+1 = \frac{2}{3}$$

إذن:

$$I = \frac{u^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C$$

أي:

$$I = \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$$

الخطوة 4: إعادة المتغير الأصلي

بما أن $u = \sin x$، فإن:

$$I = \frac{3}{2} (\sin x)^{\frac{2}{3}} + C$$

الإجابة النهائية:

$$\int \frac{\cos x}{\sqrt[3]{\sin x}} \, dx = \frac{3}{2} (\sin x)^{\frac{2}{3}} + C$$

السؤال هو:

أوجد التكامل التالي:

$$\int \frac{\sin 2x}{\sqrt{1 – \cos 2x}} \, dx$$

لحل التكامل التالي:

$$I = \int \frac{\sin 2x}{\sqrt{1 – \cos 2x}} \, dx$$

الخطوة 1: استخدام التعويض المناسب

نعلم أن:

$$1 – \cos 2x = 2 \sin^2 x$$

وبالتالي يصبح الجذر:

$$\sqrt{1 – \cos 2x} = \sqrt{2 \sin^2 x} = \sqrt{2} |\sin x|$$

بما أن التكامل يُفترض أنه في نطاق تُحافظ فيه $\sin x$ على إشارتها، يمكننا استخدام:

$$\sqrt{1 – \cos 2x} = \sqrt{2} \sin x$$

الخطوة 2: إعادة كتابة التكامل

نستخدم الهوية:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$

فيصبح التكامل:

$$I = \int \frac{2 \sin x \cos x}{\sqrt{2} \sin x} \, dx$$

نبسط:

$$I = \int \frac{2 \cos x}{\sqrt{2}} \, dx$$ $$I = \sqrt{2} \int \cos x \, dx$$

الخطوة 3: حساب التكامل

نعلم أن:

$$\int \cos x \, dx = \sin x$$

إذن:

$$I = \sqrt{2} \sin x + C$$

الإجابة النهائية:

$$\int \frac{\sin 2x}{\sqrt{1 – \cos 2x}} \, dx = \sqrt{2} \sin x + C$$

السؤال هو:

أوجد التكامل التالي:

$$\int \frac{4 \csc^2 x}{\sqrt{1 – 3 \cot 2x}} \, dx$$

لحل التكامل التالي:

$$I = \int \frac{4 \csc^2 x}{\sqrt{1 – 3 \cot 2x}} \, dx$$

الخطوة 1: استخدام التعويض المناسب

نعلم أن:

$$\frac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x$$

هذا يشير إلى أن $\csc^2 x$ هو مشتق $\cot x$، مما يجعل التعويض $u = \cot 2x$ مناسبًا.

تعريف المتغير الجديد:

نضع:

$$u = \cot 2x$$

وباشتقاق الطرفين نحصل على:

$$du = -2 \csc^2 2x \, dx$$

بالتالي:

$$dx = \frac{du}{-2 \csc^2 2x}$$

الخطوة 2: إعادة كتابة التكامل

نعيد كتابة المقام:

$$\sqrt{1 – 3 \cot 2x} = \sqrt{1 – 3u}$$

وبالتعويض نحصل على:

$$I = \int \frac{4 \csc^2 x}{\sqrt{1 – 3u}} \cdot \frac{du}{-2 \csc^2 2x}$$

نبسط:

$$I = \int \frac{4}{\sqrt{1 – 3u}} \cdot \frac{du}{-2}$$ $$I = -2 \int \frac{du}{\sqrt{1 – 3u}}$$

الخطوة 3: استخدام تعويض إضافي

نضع:

$$v = 1 – 3u$$

وبالتالي:

$$dv = -3 du \Rightarrow du = \frac{dv}{-3}$$

وبالتعويض يصبح التكامل:

$$I = -2 \int \frac{\frac{dv}{-3}}{\sqrt{v}}$$ $$I = \frac{2}{3} \int v^{-\frac{1}{2}} \, dv$$

نستخدم قاعدة التكامل:

$$\int v^n \, dv = \frac{v^{n+1}}{n+1}$$

حيث $n = -\frac{1}{2}$:

$$I = \frac{2}{3} \cdot \frac{v^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}$$ $$I = \frac{2}{3} \cdot 2 v^{\frac{1}{2}}$$ $$I = \frac{4}{3} \sqrt{v}$$

الخطوة 4: إعادة المتغيرات الأصلية

نعيد $v = 1 – 3u$:

$$I = \frac{4}{3} \sqrt{1 – 3u}$$

ثم نعيد $u = \cot 2x$:

$$I = \frac{4}{3} \sqrt{1 – 3 \cot 2x} + C$$

الإجابة النهائية:

$$\int \frac{4 \csc^2 x}{\sqrt{1 – 3 \cot 2x}} \, dx = \frac{4}{3} \sqrt{1 – 3 \cot 2x} + C$$