اذا كانت الدالة المثلثية اسية و المشتقة غير متوفرة / محاضرة 14

 

إذا كانت لدينا دالة مثلثية أسية ولكن المشتقة غير متوفرة مباشرة، يمكننا التعامل مع التكامل باستخدام التفكيك إلى متطابقات مثلثية أو تكامل الأجزاء أو إعادة كتابة الدالة في صورة أخرى قابلة للتكامل. لنأخذ بعض الأمثلة لفهم الطريقة.

---

الحالة 1: التكامل من الشكل

$$\int e^{ax} \sin (bx) \,dx$$

أو

$$\int e^{ax} \cos (bx) \,dx$$

الحل باستخدام التكامل بالتجزئة

نستخدم طريقة التكامل بالأجزاء حيث نأخذ:

• $u = \sin(bx)$ أو $u = \cos(bx)$
• $dv = e^{ax} dx$

ونطبق قاعدة التكامل بالأجزاء:

$$\int u \, dv = uv – \int v \, du.$$

مثال 1: إيجاد

$$I = \int e^{ax} \sin(bx) \,dx.$$

1. نختار:
   • $u = \sin(bx) \Rightarrow du = b \cos(bx) dx$.
   • $dv = e^{ax} dx \Rightarrow v = \frac{e^{ax}}{a}$.
2. تطبيق التكامل بالأجزاء:

   $$I = \frac{e^{ax} \sin(bx)}{a} – \int \frac{e^{ax} b \cos(bx)}{a} dx.$$

3. نكرر التكامل بالأجزاء للتكامل الجديد: نأخذ:
   • $u = \cos(bx) \Rightarrow du = -b \sin(bx) dx$.
   • $dv = e^{ax} dx \Rightarrow v = \frac{e^{ax}}{a}$.

   $$\int e^{ax} \cos(bx) \,dx = \frac{e^{ax} \cos(bx)}{a} + \frac{b}{a} \int e^{ax} \sin(bx) dx.$$

4. حل المعادلة: لدينا تكامل $I$ مرة أخرى، فنضع:

   $$I = \frac{e^{ax} \sin(bx)}{a} – \frac{b}{a} \int e^{ax} \cos(bx) dx.$$وبما أن:

   $$\int e^{ax} \cos(bx) dx = \frac{e^{ax} \cos(bx)}{a} + \frac{b}{a} I.$$نحصل على:

   $$I = \frac{e^{ax} \sin(bx)}{a} – \frac{b}{a} \left(\frac{e^{ax} \cos(bx)}{a} + \frac{b}{a} I \right).$$حل هذه المعادلة لإيجاد $I$ يؤدي إلى:

   $$I = \frac{e^{ax} (a \sin(bx) – b \cos(bx))}{a^2 + b^2}.$$وبالتالي:

   $$\int e^{ax} \sin(bx) dx = \frac{e^{ax} (a \sin(bx) – b \cos(bx))}{a^2 + b^2} + C.$$وبنفس الطريقة، نحصل على:

   $$\int e^{ax} \cos(bx) dx = \frac{e^{ax} (a \cos(bx) + b \sin(bx))}{a^2 + b^2} + C.$$

---

الحالة 2: التكامل إذا كانت الدالة تحتوي على قوى مثلثية

إذا كان لدينا تكامل من الشكل:

$$\int e^x \sin^n x \,dx$$

في هذه الحالة، يمكن استخدام التكرار التكاملي، بحيث نستخدم:

1. هوية مثلثية لتقليل قوة الدالة.
2. التكامل بالأجزاء إذا لزم الأمر.

---

الحالة 3: تكاملات من الشكل $e^{\sin x}$ أو $e^{\cos x}$

إذا كان لدينا:

$$\int e^{\sin x} dx$$

نستخدم التعويض:

$$u = \sin x, \quad du = \cos x dx.$$

ثم نحصل على تكامل من الشكل $\int e^u du$ والذي يُحسب بسهولة.

---

القاعدة العامة

إذا كانت الدالة الأسية تحتوي على دالة مثلثية، فعادةً:

1. نحاول استخدام التكامل بالأجزاء.
2. إذا كانت القوة أسية داخل الجيب أو جيب التمام، نستخدم التعويض.
3. إذا كانت تحتوي على جداء دالة مثلثية وأسية، نحاول إيجاد نمط متكرر لحله جبريًا.

---

السؤال هو:

$$\int \sin^2 x \, dx$$

لحساب التكامل:

$$I = \int \sin^2 x \, dx$$

الخطوة 1: استخدام متطابقة نصف الزاوية

نستخدم المتطابقة:

$$\sin^2 x = \frac{1 – \cos 2x}{2}$$

وبالتالي، يصبح التكامل:

$$I = \int \frac{1 – \cos 2x}{2} \, dx$$

الخطوة 2: تفكيك التكامل

$$I = \frac{1}{2} \int (1 – \cos 2x) \, dx$$

نحسب كل حد على حدة:

الحد الأول:

$$\frac{1}{2} \int 1 \, dx = \frac{1}{2} x$$

الحد الثاني:

$$\frac{1}{2} \int -\cos 2x \, dx$$

بما أن:

$$\int \cos kx \, dx = \frac{\sin kx}{k}$$

فإن:

$$\int \cos 2x \, dx = \frac{\sin 2x}{2}$$

إذن:

$$\frac{1}{2} \int -\cos 2x \, dx = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin 2x}{2} = -\frac{\sin 2x}{4}$$

الخطوة 3: جمع الحدود وإضافة الثابت $C$

$$I = \frac{x}{2} – \frac{\sin 2x}{4} + C$$

الإجابة النهائية:

$$\int \sin^2 x \, dx = \frac{x}{2} – \frac{\sin 2x}{4} + C$$

---

السؤال هو:

$$\int \cos^2 (2x) \, dx$$

لحل التكامل:

$$I = \int \cos^2(2x) \, dx$$

الخطوة 1: استخدام متطابقة نصف الزاوية

نستخدم المتطابقة:

$$\cos^2 A = \frac{1 + \cos(2A)}{2}$$

بتطبيقها على $\cos^2(2x)$:

$$\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$$

الخطوة 2: استبدال في التكامل

نكتب التكامل على الشكل:

$$I = \int \frac{1 + \cos(4x)}{2} \, dx$$

نوزع التكامل:

$$I = \frac{1}{2} \int 1 \, dx + \frac{1}{2} \int \cos(4x) \, dx$$

الخطوة 3: حساب التكاملات الجزئية

نعرف أن:

$$\int 1 \, dx = x$$

وأن:

$$\int \cos(4x) \, dx = \frac{\sin(4x)}{4}$$

الخطوة 4: تجميع النتائج

$$I = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(4x)}{4} + C$$ $$I = \frac{x}{2} + \frac{\sin(4x)}{8} + C$$

النتيجة النهائية:

$$\int \cos^2(2x) \, dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(4x)}{8} + C$$

وهذا هو الحل النهائي. 😊

---

السؤال هو:

$$\int \sin^3(x) \, dx$$

لحل التكامل:

$$I = \int \sin^3(x) \, dx$$

الخطوة 1: إعادة كتابة $\sin^3(x)$

يمكننا كتابة $\sin^3(x)$ على النحو التالي:

$$\sin^3(x) = \sin(x) \cdot \sin^2(x)$$

وباستخدام المتطابقة:

$$\sin^2(x) = 1 – \cos^2(x)$$

نستبدل في التكامل:

$$I = \int \sin(x) (1 – \cos^2(x)) \, dx$$

الخطوة 2: تغيير المتغير

نضع:

$$u = \cos(x) \Rightarrow du = -\sin(x) dx$$

وبالتعويض:

$$I = \int (1 – u^2)(-du)$$ $$I = -\int (1 – u^2) \, du$$

الخطوة 3: حساب التكامل

نوزع الإشارة السالبة:

$$I = -\int 1 \, du + \int u^2 \, du$$

نحسب كل تكامل على حدة:

$$-\int 1 \, du = -u$$ $$\int u^2 \, du = \frac{u^3}{3}$$

وبالتالي:

$$I = -u + \frac{u^3}{3} + C$$

الخطوة 4: الرجوع إلى $x$

بما أن $u = \cos(x)$، فإن:

$$I = -\cos(x) + \frac{\cos^3(x)}{3} + C$$

النتيجة النهائية:

$$\int \sin^3(x) \, dx = -\cos(x) + \frac{\cos^3(x)}{3} + C$$

وهذا هو الحل النهائي. 😊