التكامل غير المحدد للدوال المثلثية/ محاضرة 16

التكامل غير المحدد للدوال المثلثية , شرح اسئلة و وزاريات حول الموضوع

السؤال هو:

$$\int (\sin(x) + \cos(x))^2 \, dx$$

لحل التكامل:

$$I = \int (\sin(x) + \cos(x))^2 \, dx$$

الخطوة 1: نشر المربع

نستخدم متطابقة التربيع:

$$(\sin(x) + \cos(x))^2 = \sin^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x)$$

وباستخدام المتطابقة المثلثية:

$$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$$

نحصل على:

$$(\sin(x) + \cos(x))^2 = 1 + 2\sin(x)\cos(x)$$

الخطوة 2: استبدال في التكامل

$$I = \int (1 + 2\sin(x)\cos(x)) \, dx$$

نوزع التكامل:

$$I = \int 1 \, dx + 2 \int \sin(x)\cos(x) \, dx$$

الخطوة 3: حساب التكاملات الجزئية

نعرف أن:

$$\int 1 \, dx = x$$

وباستخدام المتطابقة:

$$2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)$$

وبالتالي:

$$\int \sin(2x) \, dx = -\frac{\cos(2x)}{2}$$

الخطوة 4: تجميع النتائج

$$I = x + 2 \times \left(-\frac{\cos(2x)}{2} \right) + C$$ $$I = x – \cos(2x) + C$$

النتيجة النهائية:

$$\int (\sin(x) + \cos(x))^2 \, dx = x – \cos(2x) + C$$

السؤال هو:

$$\int \csc^2(x) \cos(x) \, dx$$

لحل التكامل:

$$I = \int \csc^2(x) \cos(x) \, dx$$

الخطوة 1: إعادة كتابة الدوال المثلثية

نعلم أن دالة القاطع الزائدي التربيعي هي:

$$\csc^2(x) = \frac{1}{\sin^2(x)}$$

إذن، يمكننا إعادة كتابة التكامل على النحو التالي:

$$I = \int \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} \, dx$$

الخطوة 2: التغيير المتغير

نضع:

$$u = \sin(x)$$

وبالتالي، يكون التفاضل:

$$du = \cos(x) \, dx$$

بالتعويض في التكامل:

$$I = \int \frac{du}{u^2}$$

الخطوة 3: حساب التكامل

نعلم أن:

$$\int u^{-2} \, du = \frac{-1}{u}$$

وبالتالي:

$$I = \frac{-1}{\sin(x)} + C$$

النتيجة النهائية:

$$\int \csc^2(x) \cos(x) \, dx = -\frac{1}{\sin(x)} + C$$

أو يمكن كتابتها باستخدام القاطع الزائدي:

$$I = -\csc(x) + C$$

وهذا هو الحل النهائي. 😊

السؤال هو:

$$\int \frac{\tan(x)}{\cos^2(x)} \, dx$$

لحل التكامل:

$$I = \int \frac{\tan(x)}{\cos^2(x)} \, dx$$

الخطوة 1: إعادة كتابة الدوال المثلثية

نعلم أن:

$$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$

وبالتالي يمكننا إعادة كتابة التكامل كالتالي:

$$I = \int \frac{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}{\cos^2(x)} \, dx$$ $$I = \int \frac{\sin(x)}{\cos^3(x)} \, dx$$

الخطوة 2: تغيير المتغير

نضع:

$$u = \cos(x)$$

وبالتالي يكون التفاضل:

$$du = -\sin(x) \, dx$$

وبالتعويض في التكامل:

$$I = \int \frac{-du}{u^3}$$

الخطوة 3: حساب التكامل

يمكننا إعادة كتابة التكامل على شكل:

$$I = -\int u^{-3} \, du$$

وباستخدام قاعدة التكامل:

$$\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1}, \quad n \neq -1$$

نحصل على:

$$I = -\frac{u^{-2}}{-2}$$ $$I = \frac{1}{2} u^{-2}$$ $$I = \frac{1}{2} \frac{1}{u^2}$$

وبإرجاع $u = \cos(x)$:

$$I = \frac{1}{2} \frac{1}{\cos^2(x)}$$

الخطوة 4: إعادة كتابة النتيجة باستخدام الدوال المثلثية

بما أن:

$$\frac{1}{\cos^2(x)} = \sec^2(x)$$

فإن:

$$I = \frac{1}{2} \sec^2(x) + C$$

النتيجة النهائية:

$$\int \frac{\tan(x)}{\cos^2(x)} \, dx = \frac{1}{2} \sec^2(x) + C$$

وهذا هو الحل النهائي. 😊