العمليات على مجموعة الاعداد المركبة / محاضرة 4

 

 

العنوان: شرح مبسط للعمليات الحسابية على الأعداد المركبة للطلاب

المقدمة

مرحبًا أيها الطلاب! في هذا الدرس سنتعرف على الأعداد المركبة وكيفية إجراء العمليات الحسابية عليها بطريقة سهلة ومبسطة. الأعداد المركبة تتكون من جزء حقيقي وجزء تخيلي، وتُكتب بالشكل التالي:

z=a+biz = a + bi

حيث:

  • aa هو الجزء الحقيقي.
  • bb هو الجزء التخيلي.
  • ii هو الوحدة التخيلية حيث i2=−1i^2 = -1.

العمليات الحسابية على الأعداد المركبة

1. الجمع والطرح

عند جمع أو طرح عددين مركبين، نقوم بجمع أو طرح الجزء الحقيقي مع الحقيقي، والتخيلي مع التخيلي.

القانون: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i

مثال: (3+4i)+(2−i)=(3+2)+(4−1)i=5+3i(3 + 4i) + (2 – i) = (3 + 2) + (4 – 1)i = 5 + 3i (5+6i)−(2+3i)=(5−2)+(6−3)i=3+3i(5 + 6i) – (2 + 3i) = (5 – 2) + (6 – 3)i = 3 + 3i

2. الضرب

عند ضرب عددين مركبين، نستخدم التوزيع ونطبق قاعدة i2=−1i^2 = -1.

القانون: (a+bi)×(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i(a + bi) \times (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

مثال: (2+3i)×(4+i)(2 + 3i) \times (4 + i) =2×4+2×i+3i×4+3i×i= 2 \times 4 + 2 \times i + 3i \times 4 + 3i \times i =8+2i+12i+3(−1)= 8 + 2i + 12i + 3(-1) =8+14i−3= 8 + 14i – 3 =5+14i= 5 + 14i

3. القسمة

عند قسمة عددين مركبين، نضرب البسط والمقام بالمرافق لتبسيط القسمة.

القانون: a+bic+di×c−dic−di\frac{a + bi}{c + di} \times \frac{c – di}{c – di}

المرافق هو c−dic – di حيث: (c+di)(c−di)=c2+d2(c + di)(c – di) = c^2 + d^2

مثال: 3+2i4−i\frac{3 + 2i}{4 – i}

نضرب في المرافق 4+i4 + i: (3+2i)(4+i)(4−i)(4+i)\frac{(3 + 2i)(4 + i)}{(4 – i)(4 + i)}

البسط: =3×4+3×i+2i×4+2i×i= 3 \times 4 + 3 \times i + 2i \times 4 + 2i \times i =12+3i+8i+2(−1)= 12 + 3i + 8i + 2(-1) =10+11i= 10 + 11i

المقام: =42+12=16+1=17= 4^2 + 1^2 = 16 + 1 = 17

إذن: 10+11i17=1017+1117i\frac{10 + 11i}{17} = \frac{10}{17} + \frac{11}{17}i

4. المرافق والمعكوس

  • المرافق: العدد المركب المرافق لـ z=a+biz = a + bi هو zˉ=a−bi\bar{z} = a – bi.
  • المعكوس الجمعي: العدد المعاكس لـ z=a+biz = a + bi هو −z=−a−bi-z = -a – bi.
  • المعكوس الضربي: إذا كان z=a+biz = a + bi، فإن معكوسه الضربي هو:

1z=a−bia2+b2\frac{1}{z} = \frac{a – bi}{a^2 + b^2}

تطبيقات الأعداد المركبة

  • في الهندسة الكهربائية: تُستخدم في تحليل الدوائر الكهربائية.
  • في الفيزياء: تُستخدم في دراسة الموجات ومعادلات الفيزياء الحديثة.
  • في الرياضيات: تُساعد في حل المعادلات التي لا تقبل حلولًا حقيقية.

الخاتمة

الآن، أصبح لديكم فكرة واضحة عن كيفية إجراء العمليات الحسابية على الأعداد المركبة! تأكدوا من التدرب على الأمثلة لتحسين فهمكم. هل لديكم أي أسئلة؟ 😊

المحاضرة السابق
رجوع إلى الدرس
المحاضرة التالي