الفصل الرابع – مراجعة تكاملات الدوال الشطرية و الدوال المطلقة

أسئلة و امثلة حول حلول اسئلة تكاملات الدوال الشطرية

لحل أسئلة تكاملات الدوال الشطرية (Piecewise Functions Integration)، يمكن اتباع الخطوات التالية باختصار:

1. فهم تعريف الدالة الشطرية

• تأكد من أن لديك المعادلة الصحيحة للدالة مع الشروط المحددة لكل شطر.
• حدد الفواصل التي تتغير عندها الدالة.

2. تجزئة التكامل

• قم بتقسيم التكامل وفقًا للفواصل المحددة في تعريف الدالة الشطرية.
• كل شطر يُدمج على فترته الخاصة.

3. إجراء التكامل لكل شطر على حدة

• استخدم قواعد التكامل المعروفة (مثل التكامل المباشر، التكامل بالتجزئة، التكامل بالتعويض، إلخ) لكل جزء من الدالة.

4. جمع النتائج

• بعد إيجاد التكامل لكل شطر، اجمع القيم الناتجة للحصول على الحل النهائي.

5. التأكد من الشروط الحدية

• في حالة التكامل المحدد، تحقق من حدود التكامل وقم بتقييم القيم عندها.
• تأكد من أن القيم في النقاط التي يتغير عندها تعريف الدالة متسقة رياضيًا.

مثال توضيحي

إذا كانت لدينا الدالة الشطرية:

$$f(x) = \begin{cases} x^2, & 0 \leq x < 2 \\ 2x + 1, & 2 \leq x \leq 4 \end{cases}$$

ونريد حساب التكامل المحدد:

$$\int_0^4 f(x) \, dx$$

نقسم التكامل إلى جزأين:

$$\int_0^2 x^2 \, dx + \int_2^4 (2x + 1) \, dx$$

ثم نحسب كل جزء على حدة ونجمع النتيجة.

هذا هو الرسم البياني للدالة الشطرية. كما ترى، الدالة تتغير عند $x = 2$، حيث يتغير تعريفها من $x^2$ إلى $2x + 1$.

السؤال رقم 11:

إذا كان:

$$F(x) = \begin{cases} 2x + 1, & \forall x \geq 1 \\ 3, & \forall x < 1 \end{cases}$$

فأوجد:

$$\int_0^5 F(x) \,dx$$

الحل:

لحل التكامل، نحدد الفواصل التي تتغير عندها الدالة الشطرية:

• الدالة ثابتة عند $F(x) = 3$ عندما $x < 1$.
• الدالة خطية $F(x) = 2x + 1$ عندما $x \geq 1$.

نقسم التكامل إلى جزأين:

$$\int_0^5 F(x) \,dx = \int_0^1 3 \,dx + \int_1^5 (2x + 1) \,dx$$

حساب التكامل الأول:

$$\int_0^1 3 \,dx = 3x \Big|_0^1 = 3(1) – 3(0) = 3$$

حساب التكامل الثاني:

$$\int_1^5 (2x + 1) \,dx$$

نحسب كل جزء على حدة:

$$\int_1^5 2x \,dx = 2 \frac{x^2}{2} \Big|_1^5 = (5^2 – 1^2) = 25 – 1 = 24$$ $$\int_1^5 1 \,dx = x \Big|_1^5 = 5 – 1 = 4$$

نجمع النتائج:

$$\int_1^5 (2x + 1) \,dx = 24 + 4 = 28$$

إجمالي التكامل:

$$\int_0^5 F(x) \,dx = 3 + 28 = \mathbf{31}$$

الإجابة النهائية:

$$\int_0^5 F(x) \,dx = 31$$

 السؤال: رقم 12

إذا كان:

$$F(x) = \begin{cases} 2x, & \forall x \geq 3 \\ 6, & \forall x < 3 \end{cases}$$

فأوجد:

$$\int_1^4 F(x) \,dx$$

الحل:

لحل التكامل، نقسمه إلى فترتين حيث تتغير الدالة عند $x = 3$:

$$\int_1^4 F(x) \,dx = \int_1^3 6 \,dx + \int_3^4 2x \,dx$$

حساب التكامل الأول:

$$\int_1^3 6 \,dx = 6x \Big|_1^3 = 6(3) – 6(1) = 18 – 6 = 12$$

حساب التكامل الثاني:

$$\int_3^4 2x \,dx$$

نحسب التكامل:

$$\int 2x \,dx = x^2$$

نطبق الحدود:

$$x^2 \Big|_3^4 = (4^2 – 3^2) = (16 – 9) = 7$$

إجمالي التكامل:

$$\int_1^4 F(x) \,dx = 12 + 7 = \mathbf{19}$$

الإجابة النهائية:

$$\int_1^4 F(x) \,dx = 19$$

السؤال: رقم 13

لنكـن:

$$F(x) = |x|$$

فأوجد:

$$\int_{-3}^{4} F(x) \,dx$$

الحل:

الدالة المعطاة هي الدالة المطلقة $F(x) = |x|$، والتي تُعرَّف على جزأين:

$$F(x) = \begin{cases} -x, & \text{إذا } x < 0 \\ x, & \text{إذا } x \geq 0 \end{cases}$$

بما أن التكامل يمتد من $x = -3$ إلى $x = 4$، نقسمه إلى جزأين عند النقطة الحرجة $x = 0$:

$$\int_{-3}^{4} |x| \,dx = \int_{-3}^{0} -x \,dx + \int_{0}^{4} x \,dx$$

حساب التكامل الأول $\int_{-3}^{0} -x \,dx$:

$$\int -x \,dx = -\frac{x^2}{2}$$

نطبق الحدود:

$$-\frac{x^2}{2} \Big|_{-3}^{0} = \left[-\frac{0^2}{2}\right] – \left[-\frac{(-3)^2}{2}\right]$$ $$= 0 – \left(-\frac{9}{2}\right) = \frac{9}{2}$$

حساب التكامل الثاني $\int_{0}^{4} x \,dx$:

$$\int x \,dx = \frac{x^2}{2}$$

نطبق الحدود:

$$\frac{x^2}{2} \Big|_{0}^{4} = \left(\frac{4^2}{2}\right) – \left(\frac{0^2}{2}\right)$$ $$= \frac{16}{2} – 0 = 8$$

إجمالي التكامل:

$$\int_{-3}^{4} |x| \,dx = \frac{9}{2} + 8 = \frac{9}{2} + \frac{16}{2} = \frac{25}{2}$$

الإجابة النهائية:

$$\int_{-3}^{4} |x| \,dx = \frac{25}{2} = 12.5$$

السؤال:

أثبت أن:

$$\int_{-2}^{4} |3x – 6| \,dx = 30$$

الحل:

بما أن لدينا القيمة المطلقة $|3x – 6|$، نحدد متى يتغير سلوك الدالة.

1. إيجاد النقطة التي تجعل القيمة المطلقة صفرًا

لحل المعادلة $3x – 6 = 0$:

$$3x = 6 \Rightarrow x = 2$$

إذن، تتغير الدالة عند $x = 2$، لذا نقسم التكامل إلى جزأين:

$$\int_{-2}^{4} |3x – 6| \,dx = \int_{-2}^{2} |3x – 6| \,dx + \int_{2}^{4} |3x – 6| \,dx$$

2. تحليل القيمة المطلقة

نستخدم تعريف القيمة المطلقة:

$$|3x – 6| = \begin{cases} -(3x – 6) = -3x + 6, & \text{إذا } x < 2 \\ 3x – 6, & \text{إذا } x \geq 2 \end{cases}$$

3. حساب التكامل الأول $\int_{-2}^{2} (-3x + 6) \,dx$

$$\int (-3x + 6) \,dx = \int -3x \,dx + \int 6 \,dx$$

نحسب كل جزء:

$$\int -3x \,dx = -\frac{3x^2}{2}$$ $$\int 6 \,dx = 6x$$

نطبق الحدود $x = -2$ إلى $x = 2$:

$$\left[-\frac{3(2)^2}{2} + 6(2) \right] – \left[-\frac{3(-2)^2}{2} + 6(-2) \right]$$ $$= \left[-\frac{3(4)}{2} + 12 \right] – \left[-\frac{3(4)}{2} – 12 \right]$$ $$= \left[-\frac{12}{2} + 12 \right] – \left[-\frac{12}{2} – 12 \right]$$ $$= \left[-6 + 12 \right] – \left[-6 – 12 \right]$$ $$= (6) – (-18) = 6 + 18 = 24$$

4. حساب التكامل الثاني $\int_{2}^{4} (3x – 6) \,dx$

$$\int (3x – 6) \,dx = \int 3x \,dx – \int 6 \,dx$$

نحسب كل جزء:

$$\int 3x \,dx = \frac{3x^2}{2}$$ $$\int -6 \,dx = -6x$$

نطبق الحدود $x = 2$ إلى $x = 4$:

$$\left[\frac{3(4)^2}{2} – 6(4) \right] – \left[\frac{3(2)^2}{2} – 6(2) \right]$$ $$= \left[\frac{3(16)}{2} – 24 \right] – \left[\frac{3(4)}{2} – 12 \right]$$ $$= \left[\frac{48}{2} – 24 \right] – \left[\frac{12}{2} – 12 \right]$$ $$= \left[24 – 24 \right] – \left[6 – 12 \right]$$ $$= 0 – (-6) = 6$$

5. حساب الناتج الكلي

$$\int_{-2}^{4} |3x – 6| \,dx = 24 + 6 = 30$$

الإجابة النهائية:

$$\int_{-2}^{4} |3x – 6| \,dx = 30$$

وبذلك تم إثبات المطلوب! ✅

هذا هو الرسم البياني للدالة المطلقة $|3x – 6|$. كما يظهر، تنقسم الدالة إلى جزأين:

• الجزء الأول (الأزرق): عندما $x < 2$ حيث $f(x) = -(3x – 6)$.
• الجزء الثاني (الأحمر): عندما $x \geq 2$ حيث $f(x) = 3x – 6$.

نقطة التغيير عند $x = 2$، حيث تساوي $f(x) = 0$.