مراجعة حل المعادلات التفاضلية – المحاضرة الثالثة

مراجعة حل المعادلات التفاضلية , و حل اسئلة وزارية

📌 السؤال: رقم 25

حل المعادلة التفاضلية التالية:

$$\frac{dy}{dx} = 9e^x y^3$$

📌 الحل باستخدام طريقة فصل المتغيرات:

1. فصل المتغيرات

نعيد ترتيب المعادلة بحيث تكون جميع الحدود التي تحتوي على $y$ في طرف، والتي تحتوي على $x$ في الطرف الآخر:

$$\frac{dy}{y^3} = 9e^x dx$$

2. التكامل للطرفين

نحسب التكامل لكلا الطرفين:

تكامل الطرف الأيسر:

$$\int y^{-3} dy = \frac{y^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2y^2}$$

تكامل الطرف الأيمن:

$$\int 9e^x dx = 9e^x$$

3. إيجاد الحل العام

بعد التكامل نحصل على:

$$-\frac{1}{2y^2} = 9e^x + C$$

نضرب في -1:

$$\frac{1}{2y^2} = -9e^x – C$$

نضرب في 2:

$$\frac{1}{y^2} = -18e^x – 2C$$

وبما أن $-2C$ هو ثابت جديد $C’$، نكتب:

$$\frac{1}{y^2} = -18e^x + C’$$

نأخذ الجذر العكسي:

$$y = \pm \frac{1}{\sqrt{C’ – 18e^x}}$$

✅ الحل النهائي:

$$y = \pm \frac{1}{\sqrt{C – 18e^x}}$$

حيث $C$ هو ثابت التكامل. 🚀

السؤال:

حل المعادلة التفاضلية التالية:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{3y^2 + e^y}$$

الحل:

هذه المعادلة التفاضلية من النوع القابل للفصل، لذا نقوم بفصل المتغيرات كما يلي:

$$(3y^2 + e^y) dy = \cos x dx$$

الخطوة 1: التكامل على الطرفين

نقوم بحساب التكامل للطرفين:

$$\int (3y^2 + e^y) dy = \int \cos x dx$$

الخطوة 2: حساب التكامل

نحسب التكامل لكل حد على حدة:

• $\int 3y^2 dy = y^3$
• $\int e^y dy = e^y$
• $\int \cos x dx = \sin x$

إذن، نحصل على المعادلة التالية بعد التكامل:

$$y^3 + e^y = \sin x + C$$

حيث $C$ هو ثابت التكامل.

الإجابة النهائية:

$$y^3 + e^y = \sin x + C$$

وهذا هو الحل العام للمعادلة التفاضلية.