المحاضرة6/ القطع المكافئ معادلة القطع المكافئ باستخدام تعريفه الهندسي

لإيجاد معادلة القطع المكافئ باستخدام تعريفه الهندسي، نتبع الخطوات التالية:

التعريف:

القطع المكافئ هو مجموعة النقاط التي تبعد بُعدًا متساويًا عن نقطة ثابتة تسمى البؤرة (Focus) ومستقيم ثابت يسمى الدليل (Directrix).

خطوات إيجاد المعادلة:

1. فرض البؤرة والدليل:
   • لتكن البؤرة عند النقطة $F(h, k + p)$.
   • وليكن الدليل هو الخط المستقيم $y = k – p$.
   • هنا، $p$ هو البعد البؤري (المسافة بين القمة والبؤرة).
2. استخدام التعريف الهندسي:
   • أي نقطة على القطع المكافئ $(x, y)$ تحقق: $$\text{المسافة إلى البؤرة} = \text{المسافة إلى الدليل}$$
   • باستخدام قانون المسافة بين نقطتين: $$\sqrt{(x – h)^2 + (y – (k + p))^2} = \left| y – (k – p) \right|$$
3. تربيع الطرفين لإزالة الجذر:

   $$(x – h)^2 + (y – k – p)^2 = (y – k + p)^2$$

4. تبسيط المعادلة:
   • نشر الطرفين ثم التبسيط يؤدي إلى المعادلة القياسية: $$(x – h)^2 = 4p(y – k)$$
   • هذه هي معادلة القطع المكافئ العمودي بحيث يكون رأس القطع المكافئ عند $(h, k)$.

ملاحظات:

• إذا كان القطع المكافئ أفقيًا (فاتحًا لليسار أو اليمين)، فإن المعادلة تصبح: $$(y – k)^2 = 4p(x – h)$$
• إذا كان $p > 0$، يكون الفتح للأعلى أو لليمين، وإذا كان $p < 0$، يكون الفتح للأسفل أو لليسار.

مثال تطبيقي:

إيجاد معادلة القطع المكافئ عندما تكون البؤرة $(0,2)$ والدليل $y = -2$:

• حساب الرأس: $$k = \frac{2 + (-2)}{2} = 0$$ إذن رأس القطع عند $(0,0)$.
• البعد البؤري: $$p = 2 – 0 = 2$$
• المعادلة: $$x^2 = 4(2)y$$ $$x^2 = 8y$$

هذه هي معادلة القطع المكافئ باستخدام تعريفه الهندسي. 🎯