المساحات في الدوال المثلثية – تكملة التكامل / محاضرة 32

حلول الاسئلة الوزارية و الخارجية في ايجاد المساحات في الدوال المثلثية بواسطة التكامل

سؤال وزاري مهم

السؤال هو:

جد المساحة المحددة بين منحني الدالتين
$f(x) = \sin x$ و $g(x) = \sin x \cos x$
وعن الفترة $[0, 2\pi]$.

لحساب المساحة المحصورة بين منحنيي الدالتين $f(x) = \sin x$ و $g(x) = \sin x \cos x$ على الفترة $[0, 2\pi]$، نتبع الخطوات التالية:

1. إيجاد نقاط التقاطع

المساحة المحصورة تُحسب بين نقاط التقاطع، لذا نحل المعادلة:

$$\sin x = \sin x \cos x$$

بإعادة الترتيب:

$$\sin x – \sin x \cos x = 0$$ $$\sin x (1 – \cos x) = 0$$

بالتالي، إما:

• $\sin x = 0$ ⟹ $x = 0, \pi, 2\pi$
• $1 – \cos x = 0$ ⟹ $\cos x = 1$ ⟹ $x = 0, 2\pi$ (لكنها مُكررة)

إذن، نقاط التقاطع المهمة هي: $x = 0, \pi, 2\pi$.

2. حساب المساحة باستخدام التكامل

المساحة بين منحنيين تُحسب باستخدام التكامل:

$$A = \int_{a}^{b} | f(x) – g(x) | \, dx$$

نقسم التكامل إلى جزأين بناءً على التقاطع عند $x = \pi$:

أ. التكامل من 0 إلى $\pi$:

هنا، $f(x) = \sin x$ و $g(x) = \sin x \cos x$، وبما أن $\sin x \geq \sin x \cos x$ فإن:

$$A_1 = \int_0^\pi (\sin x – \sin x \cos x) \, dx$$

ب. التكامل من $\pi$ إلى $2\pi$:

في هذه الفترة، $g(x) = \sin x \cos x$ يصبح أعلى من $f(x) = \sin x$ (بسبب تغير إشارات الدوال)، لذا نحسب:

$$A_2 = \int_\pi^{2\pi} (\sin x \cos x – \sin x) \, dx$$

3. حساب التكاملات

حساب $A_1$:

$$A_1 = \int_0^\pi \sin x (1 – \cos x) \, dx$$

نحلها بتجزئة التكامل:

$$A_1 = \int_0^\pi \sin x \, dx – \int_0^\pi \sin x \cos x \, dx$$

نعرف أن:

$$\int \sin x \, dx = -\cos x$$ $$\int \sin x \cos x \, dx = \frac{1}{2} \sin^2 x$$

إذن:

$$A_1 = [-\cos x]_0^\pi – \frac{1}{2} [\sin^2 x]_0^\pi$$

بحساب القيم:

$$(-\cos \pi + \cos 0) – \frac{1}{2} (\sin^2 \pi – \sin^2 0)$$

نعلم أن $\cos \pi = -1$ و $\cos 0 = 1$ و $\sin \pi = 0$ و $\sin 0 = 0$، إذن:

$$A_1 = (-(-1) + 1) – \frac{1}{2} (0 – 0) = 2$$

حساب $A_2$:

$$A_2 = \int_\pi^{2\pi} (\sin x \cos x – \sin x) \, dx$$

بتغيير الإشارات وإعادة الحساب بنفس الطريقة، سنجد أن:

$$A_2 = 2$$

4. حساب المساحة الكلية

$$A = A_1 + A_2 = 2 + 2 = 4$$

النتيجة النهائية:

$$\boxed{4}$$

وهي المساحة المحصورة بين منحنيي الدالتين على الفترة $[0, 2\pi]$.

هذا هو الرسم البياني للدالتين $f(x) = \sin x$ (باللون الأزرق) و $g(x) = \sin x \cos x$ (باللون الأحمر).
المساحة المحصورة بين المنحنيين مظللة باللون الرمادي، وهي التي تم حسابها سابقًا بقيمة 4.
كما تم تحديد نقاط التقاطع عند $x = 0, \pi, 2\pi$ بعلامات سوداء.

سؤال وزاري اخر مهم

السؤال هو:

جد المساحة المحددة بين منحنيي الدالتين
$y = \sin x$ و $y = \cos x$
وعن الفترة $\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$.

لحساب المساحة المحددة بين المنحنيين $y = \sin x$ و $y = \cos x$ في الفترة $\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$، نتبع الخطوات التالية:

1. إيجاد نقاط التقاطع

نبحث عن القيم التي تجعل:

$$\sin x = \cos x$$

بقسمة الطرفين على $\cos x$ (بشرط أن $\cos x \neq 0$) نحصل على:

$$\tan x = 1$$

وهذا يحدث عند:

$$x = \frac{\pi}{4}$$

إذن، نقطة التقاطع في الفترة المطلوبة هي $x = \frac{\pi}{4}$.

2. حساب المساحة باستخدام التكامل

المساحة المحصورة بين منحنيين تُحسب وفقًا للصيغة:

$$A = \int_{a}^{b} | f(x) – g(x) | \, dx$$

نلاحظ أن:

• في الفترة $\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4} \right]$، نجد أن $\cos x > \sin x$، وبالتالي المساحة تحسب بـ: $$A_1 = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x – \sin x) \, dx$$
• في الفترة $\left[ \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right]$، نجد أن $\sin x > \cos x$، وبالتالي المساحة تحسب بـ: $$A_2 = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x – \cos x) \, dx$$

3. حساب التكاملات

حساب $A_1$:

$$A_1 = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x – \sin x) \, dx$$

نعرف أن:

$$\int \cos x \, dx = \sin x, \quad \int \sin x \, dx = -\cos x$$

إذن:

$$A_1 = [\sin x + \cos x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}}$$

نحسب القيم عند الحدود:

• عند $x = \frac{\pi}{4}$: $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ و $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$$\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$

• عند $x = -\frac{\pi}{2}$: $\sin -\frac{\pi}{2} = -1$ و $\cos -\frac{\pi}{2} = 0$

$$\sin -\frac{\pi}{2} + \cos -\frac{\pi}{2} = -1 + 0 = -1$$

إذن:

$$A_1 = \sqrt{2} – (-1) = \sqrt{2} + 1$$

حساب $A_2$:

$$A_2 = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x – \cos x) \, dx$$ $$A_2 = [ -\cos x – \sin x ]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$$

نحسب القيم عند الحدود:

• عند $x = \frac{\pi}{2}$: $\sin \frac{\pi}{2} = 1$ و $\cos \frac{\pi}{2} = 0$

$$-\cos \frac{\pi}{2} – \sin \frac{\pi}{2} = 0 – 1 = -1$$

• عند $x = \frac{\pi}{4}$: $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ و $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$$-\cos \frac{\pi}{4} – \sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$$

إذن:

$$A_2 = -1 – (-\sqrt{2}) = \sqrt{2} – 1$$

4. حساب المساحة الكلية

$$A = A_1 + A_2 = (\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{2} – 1)$$ $$A = 2\sqrt{2}$$

النتيجة النهائية

$$\boxed{2\sqrt{2}}$$

وهذه هي المساحة المحصورة بين المنحنيين $y = \sin x$ و $y = \cos x$ على الفترة $\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$.

هذا هو الرسم البياني للدالتين $y = \sin x$ (باللون الأزرق) و $y = \cos x$ (باللون الأحمر).
المساحة المحصورة بين المنحنيين مظللة باللون الرمادي، وهي التي تم حسابها سابقًا بقيمة $2\sqrt{2}$.
كما تم تحديد نقطة التقاطع عند $x = \frac{\pi}{4}$ بعلامة سوداء.