تمارين (1-6) السؤال الثاني

شرح “عبارات التوازي”:

عبارات التوازي هي مجموعة من القواعد والنظريات التي تحدد متى يكون مستقيمان أو مستويان متوازيين، وكذلك الخصائص الهندسية التي تحكم التوازي في الهندسة الإقليدية.

أهم عبارات التوازي في الهندسة:

1. إذا كان مستقيمان متوازيين، فإن أي مستقيم ثالث يقطعهما يشكل زوايا متناظرة ومتساوية.
   • أي إذا كان المستقيمان $A$ و $B$ متوازيين، والمستقيم $C$ يقطعهما، فإن الزوايا المتناظرة بينهما تكون متساوية.
2. إذا كان مستقيمان متعامدين على نفس المستقيم، فهما متوازيان.
   • أي إذا كان المستقيمان $A$ و $B$ كلاهما عموديين على المستقيم $C$، فهذا يعني أن $A$ و $B$ متوازيان.
3. إذا قطع مستقيم مستويين متوازيين بشكل غير عمودي، فإنه يشكل نفس الزوايا مع كليهما.
   • أي أن أي خط يمر بمستويين متوازيين يشكل زوايا متساوية عند التقاطع مع كل مستوٍ.
4. إذا كان هناك مستقيم يوازي مستويًا، فإن أي مستقيم آخر يوازي هذا المستقيم يكون موازيًا لذلك المستوي أيضًا.
   • هذا ينطبق في الحالات التي يكون فيها لدينا عدة مستويات في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

استخدامات التوازي في الهندسة:

• في بناء الأشكال الهندسية مثل المستطيلات والمربعات.
• في حسابات المسافات بين الخطوط المتوازية.
• في تطبيقات الميكانيكا والهندسة المعمارية لرسم الخطوط المتوازية في التصاميم.

البرهان:

المطلوب إثباته: إذا كان مستقيمان عموديين على نفس المستقيم، فإنهما متوازيان.

الخطوات:

1. لنفرض أن لدينا مستقيمًا $L$ ومستقيمين $A$ و $B$ بحيث أن:
   • المستقيم $A$ عمودي على $L$
   • المستقيم $B$ عمودي أيضًا على $L$
2. من تعريف العمودية، إذا كان مستقيمان عموديين على نفس المستقيم، فإن كل منهما يشكل زاوية قائمة $90^\circ$ مع ذلك المستقيم.
   أي أن:

   $$\angle(AL) = 90^\circ \quad \text{و} \quad \angle(BL) = 90^\circ$$

3. نظرًا لأن الزوايا التي يشكلها المستقيمان $A$ و $B$ مع $L$ متساوية، فإنهما لا يمكن أن يتقاطعان أبدًا، وإلا فإنه سيكون هناك تناقض في الزوايا القائمة.
4. وفقًا لتعريف المستقيمات المتوازية، فإن المستقيمين $A$ و $B$ اللذين لا يتقاطعان ولديهما نفس الميل يكونان متوازيين.

النتيجة:

بما أن المستقيمين عموديان على نفس المستقيم، فإنهما متوازيان، مما يثبت صحة النظرية.

البرهان:

المطلوب إثباته: إذا وازى مستقيم مستويًا معلومًا، فإن أي مستقيم مرسوم من نقطة داخل المستوي وموازٍ لهذا المستقيم يكون محتوى في المستوي.

الخطوات:

1. فرضيات البرهان:
   • لدينا مستقيم $L$ يوازي مستويًا $P$.
   • نأخذ نقطة $A$ داخل المستوي $P$.
   • نرسم مستقيمًا $M$ يمر بالنقطة $A$ ويكون موازيًا للمستقيم $L$.
2. تحليل العلاقة الهندسية:
   • بما أن المستقيم $L$ يوازي المستوي $P$، فإن جميع المستقيمات في المستوي $P$ التي توازي $L$ ستكون أيضًا موازية له ضمن نفس المستوى.
   • المستقيم $M$ الذي يمر بالنقطة $A$ هو مستقيم وحيد يوازي $L$ وفقًا لمبدأ التوازي في الهندسة الإقليدية.
3. الاستنتاج:
   • بما أن $M$ يقع في المستوي $P$ ويمر بالنقطة $A$ ويوازي المستقيم $L$، فإنه لا يمكن أن يخرج عن المستوي $P$.
   • إذن، المستقيم $M$ يكون محتوى داخل المستوي $P$.

النتيجة:

لقد أثبتنا أن أي مستقيم مرسوم من نقطة داخل المستوي وموازٍ لمستقيم آخر يوازي المستوي يكون محتوى داخل المستوي نفسه.