محاضرة 3 / مراجعة قواعد الاشتقاق – المشتقات ذات الرتب العليا

المشتقات ذات الرتب العليا (Higher-order Derivatives) هي المشتقات المأخوذة من دالةٍ ما بشكل متكرر. فعند اشتقاق دالة أكثر من مرة، تسمى المشتقة الناتجة في كل مرة رتبة جديدة:

• المشتقة الأولى $f'(x)$
• المشتقة الثانية $f”(x)$
• المشتقة الثالثة $f”'(x)$
• … وهكذا.

التمثيل الرياضي:

للدالة $f(x)$، يتم التعبير عن مشتقاتها العليا كالتالي:

$$f'(x),\quad f”(x),\quad f”'(x),\quad f^{(4)}(x),\quad f^{(n)}(x)$$

المشتقة من الرتبة $n$:

$$f^{(n)}(x) = \frac{d^n}{dx^n} f(x)$$

حيث $n$ هي رتبة الاشتقاق.

مثال توضيحي:

إذا كانت $f(x) = x^4$:

• المشتقة الأولى:

$$f'(x) = 4x^3$$

• المشتقة الثانية:

$$f”(x) = 12x^2$$

• المشتقة الثالثة:

$$f”'(x) = 24x$$

• المشتقة الرابعة:

$$f^{(4)}(x) = 24$$

• المشتقة الخامسة:

$$f^{(5)}(x) = 0$$

تلاحظ أنه في هذا المثال تصبح المشتقة من الدرجة الخامسة صفرًا، وهذا يحدث عمومًا في الدوال متعددة الحدود بعد رتبة معينة.

تطبيقات المشتقات ذات الرتب العليا:

• تحديد تقعر (Concavity) المنحنى باستخدام المشتقة الثانية.
• إيجاد نقاط الانقلاب (نقاط تغير التقعر) من خلال المشتقة الثانية.
• تقريب الدوال باستخدام متسلسلة تايلور التي تعتمد على المشتقات العليا.

السؤال هو:

إذا كانت:

$$f(x) = x^4 – 2x^3 + 5x^2 – 7$$

فجد:

$$f”'(x),\quad f”(x),\quad f'(x)$$

إليك الشرح التفصيلي لخطوات الحل خطوة بخطوة:

الخطوة الأولى: المشتقة الأولى $f'(x)$:

نقوم باشتقاق كل حد من حدود الدالة الأصلية:

الدالة الأصلية:

$$f(x) = x^4 – 2x^3 + 5x^2 – 7$$

الاشتقاق يكون كالتالي:

• اشتقاق $x^4$ هو $4x^3$
• اشتقاق $-2x^3$ هو $-6x^2$
• اشتقاق $5x^2$ هو $10x$
• اشتقاق $-7$ هو صفر (لأنها ثابت)

فتصبح المشتقة الأولى:

$$f'(x) = 4x^3 – 6x^2 + 10x$$

الخطوة الثانية: المشتقة الثانية $f”(x)$:

نأخذ المشتقة الثانية من خلال اشتقاق الناتج الأول مرة أخرى:

المشتقة الأولى التي حصلنا عليها:

$$f'(x) = 4x^3 – 6x^2 + 10x$$

نشتقها:

• اشتقاق $4x^3$ هو $12x^2$
• اشتقاق $-6x^2$ هو $-12x$
• اشتقاق $10x$ هو $10$

فتصبح المشتقة الثانية هي:

$$f”(x) = 12x^2 – 12x + 10$$

الخطوة الثالثة: المشتقة الثالثة $f”'(x)$:

نشتق الناتج الثاني مرة أخرى للحصول على المشتقة الثالثة:

المشتقة الثانية هي:

$$f”(x) = 12x^2 – 12x + 10$$

نشتقها:

• اشتقاق $12x^2$ هو $24x$
• اشتقاق $-12x$ هو $-12$
• اشتقاق $10$ هو صفر (لأنها ثابت)

فتصبح المشتقة الثالثة هي:

$$f”'(x) = 24x – 12$$

تلخيص النتائج بشكل مرتب:

هكذا يتم إيجاد المشتقات العليا للدالة خطوة بخطوة.

السؤال هو:

إذا كانت:

$$f(x) = \sqrt[3]{x^2 + x + 5}$$

جد $f'(x)$.

لحل السؤال نستخدم قاعدة السلسلة (Chain Rule)، وهي:

إذا كانت:

$$f(x) = (u(x))^n \quad \Rightarrow \quad f'(x) = n(u(x))^{n-1} \cdot u'(x)$$

الحل خطوة بخطوة:

الدالة المعطاة هي:

$$f(x) = \sqrt[3]{x^2 + x + 5}$$

نعيد كتابة الدالة بشكل أسي:

$$f(x) = (x^2 + x + 5)^{\frac{1}{3}}$$

نعتبر:

$$u(x) = x^2 + x + 5$$

الخطوة الأولى: إيجاد $u'(x)$

نشتق $u(x)$:

$$u'(x) = 2x + 1$$

الخطوة الثانية: إيجاد $f'(x)$

باستخدام قاعدة السلسلة:

$$f'(x) = \frac{1}{3}(x^2 + x + 5)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (2x + 1)$$

نقوم بتبسيط القوة:

$$f'(x) = \frac{1}{3}(x^2 + x + 5)^{-\frac{2}{3}} \cdot (2x + 1)$$

نرتب الناتج بصورة نهائية:

$$f'(x) = \frac{2x + 1}{3(x^2 + x + 5)^{\frac{2}{3}}}$$

النتيجة النهائية:

$$f'(x) = \frac{2x + 1}{3(x^2 + x + 5)^{\frac{2}{3}}}$$

السؤال هو:

إذا كانت:

$$f(x) = \sqrt{x^2 + x + 3}$$

جد $f'(x)$.

إليك الحل خطوة بخطوة باستخدام قاعدة السلسلة (Chain Rule):

الدالة المعطاة:

$$f(x) = \sqrt{x^2 + x + 3}$$

خطوة (1): تحديد الدالة الداخلية:

نفترض أن:

$$u(x) = x^2 + x + 3$$

وبالتالي:

$$u'(x) = 2x + 1$$

الخطوة الثانية: اشتقاق الدالة الأساسية:

الدالة مكتوبة على شكل:

$$f(x) = (u(x))^{\frac{1}{2}}$$

عند اشتقاقها، نستخدم قاعدة السلسلة (Chain Rule):

$$f'(x) = \frac{1}{2}(u(x))^{-\frac{1}{2}} \cdot u'(x)$$

نعوض ما وجدناه:

$$f'(x) = \frac{1}{2}(x^2 + x + 3)^{-\frac{1}{2}} \cdot (2x + 1)$$

نبسط المشتقة لتصبح بشكلها النهائي:

$$f'(x) = \frac{2x + 1}{2\sqrt{x^2 + x + 3}}$$

النتيجة النهائية:

$$\boxed{f'(x) = \frac{2x + 1}{2\sqrt{x^2 + x + 3}}}$$