نتيجة مبرهنة 7

نص العبارة من الصورة:

«في المستوى الواحد يمكن رسم مستقيم وحيد عموديًا على مستقيم معلوم من نقطة معلومة.»

📝 البرهان:

أولًا: (المعطيات)

• لدينا مستوى واحد، وليكن المستوى $\alpha$.
• يوجد مستقيم معلوم داخل المستوى، نسميه $d$.
• نقطة معلومة واقعة داخل نفس المستوى، نسميها $A$، وقد تكون على المستقيم أو خارجه.

ثانيًا: (المطلوب إثباته)

• نريد إثبات أنه يمكن رسم مستقيم واحد فقط عموديًا على المستقيم $d$ يمر بالنقطة $A$.

✅ البرهان (بالتفصيل):

الحالة الأولى: (النقطة A تقع على المستقيم d)

إذا كانت النقطة $A$ تقع على المستقيم $d$، فمن البديهي في الهندسة الإقليدية أنه يمكن رسم مستقيم واحد فقط يمر من النقطة $A$ ويصنع زاوية قائمة (90°) مع المستقيم $d$.
ولو افترضنا أنه بالإمكان رسم مستقيمين عموديين مختلفين من نفس النقطة، فهذا يعني أنه يوجد زاويتان قائمتان متجاورتان في نفس المستوى، مما يؤدي إلى تناقض واضح مع مفهوم الخط المستقيم والزوايا.

الحالة الثانية: (النقطة A لا تقع على المستقيم d)

عندما تكون النقطة $A$ خارج المستقيم $d$، يمكن تطبيق نفس المبدأ:

• نعرف في الهندسة أنه من نقطة خارج مستقيم معين، يمكن إنزال عمود واحد ووحيد على ذلك المستقيم.
• لو افترضنا وجود مستقيمين مختلفين عموديين من النقطة نفسها على نفس المستقيم، فهذا يعني وجود مثلث بزاويتين قائمتين، وهذا مستحيل هندسيًا.

📍 النتيجة (الخلاصة):

تم إثبات أنه في كل الحالات، من نقطة واحدة معلومة في المستوى الواحد، يمكن رسم مستقيم واحد فقط عمودي على مستقيم معلوم.

فيما يلي طريقة رسم توضيحي بسيط للعبارة السابقة:

📐 خطوات الرسم التوضيحي:

الخطوة (1): رسم المستوى

• ارسم مستطيلاً كبيرًا يمثل المستوى، واكتب داخله “المستوى $\alpha$“.

الخطوة (2): رسم المستقيم المعلوم

• ارسم مستقيمًا داخل المستوى، وسمِّه $d$.

الخطوة (3): حدد النقطة المعلومة

• ارسم نقطة محددة واضحة، سمِّها $A$. (يمكن أن تكون على المستقيم أو خارجه).

الخطوة (4): رسم المستقيم العمودي

• ارسم مستقيمًا واحدًا فقط يمر بالنقطة $A$ ويكون عموديًا على المستقيم $d$، ووضح علامة الزاوية القائمة (90°).

🔖 شكل توضيحي تقريبي للرسم النهائي:

(حالة النقطة خارج المستقيم):

    المستوى (α)
   ┌───────────────────┐
   │                   │
   │        A •        │
   │         │         │
   │         │ (عمودي) │
   │         │  90°    │
   │─────────┼─────────│ d
   │         │         │
   │                   │
   └───────────────────┘

(حالة النقطة على المستقيم):

      المستوى (α)
   ┌───────────────────┐
   │                   │
   │                   │
   │         │ (عمودي) │
   │         │         │
   │─────────•─────────│ d
   │         A         │
   │                   │
   │                   │
   └───────────────────┘

بهذه الطريقة يكون الرسم واضحًا وسهل الفهم.