شرح و مراجعة معادلة الدائرة – رياضيات الخامس العلمي

مقدمة الدرس

في هذا الدرس من مادة الرياضيات للصف الخامس العلمي، سنتناول و نراجع موضوع معادلة الدائرة ضمن الفصل الثالث “القطوع المخروطية”. ويُعد هذا الموضوع من أهم المواضيع التي تُبنى عليها أسئلة متنوعة ومباشرة في الامتحانات الشهرية ونصف السنة.

سنتعرف على مفهوم الدائرة، ومكوناتها الأساسية مثل المركز ونصف القطر، وسنشرح المعادلة القياسية للدائرة، بالإضافة إلى أمثلة تطبيقية وأساليب استخراج المعادلة أو مكوناتها (المركز أو نصف القطر) من معطيات مختلفة.

ما هي الدائرة؟

الدائرة هي شكل هندسي ثنائي الأبعاد، جميع نقاطه تبعد نفس المسافة عن نقطة معينة تُسمى المركز. وتلك المسافة الثابتة تُسمى نصف القطر.

📌 تعريف المركز (Center): هو النقطة التي تقع في منتصف الدائرة، نرمز لها بالرمز C، وتمثلها بالإحداثيين (h, k).

📌 تعريف نصف القطر (Radius): هو المسافة من المركز إلى أي نقطة على محيط الدائرة، ويرمز له بـ r.

المعادلة القياسية للدائرة

تُكتب المعادلة القياسية للدائرة بالشكل:

$$(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$$

حيث:

• (h, k): إحداثيات مركز الدائرة.
• r: نصف القطر.
• x و y: متغيرات تمثل أي نقطة على الدائرة.

أمثلة محلولة

✅ المثال 1: جد معادلة الدائرة التي مركزها (5, 3) ونصف قطرها 4.

الحل:

بما أن:

• h = 5
• k = 3
• r = 4

نطبق القانون:

$$(x – 5)^2 + (y – 3)^2 = 4^2 = 16$$

إذن، المعادلة هي:

$$(x – 5)^2 + (y – 3)^2 = 16$$

✅ المثال 2: جد معادلة الدائرة التي مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 6.

📌 ملاحظة: نقطة الأصل تعني أن المركز هو (0, 0).

نطبق القانون:

$$(x – 0)^2 + (y – 0)^2 = 6^2 = 36 \Rightarrow x^2 + y^2 = 36$$

كيفية استخراج المركز ونصف القطر من المعادلة

✅ المثال 3: أوجد مركز ونصف قطر الدائرة من المعادلة:

$$(x + 3)^2 + (y – 2)^2 = 25$$

الحل:

نقارنها بالصيغة القياسية:

$$(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$$

نلاحظ:

• $x + 3 = x – (-3)$ ⇒ $h = -3$
• $y – 2$ ⇒ $k = 2$
• $r^2 = 25$ ⇒ $r = \sqrt{25} = 5$

إذن:

• المركز: (-3, 2)
• نصف القطر: 5

استخراج نصف القطر من نقطتين

في بعض الأسئلة، يُطلب إيجاد نصف القطر دون إعطائه مباشرة، بل من خلال نقطتين: المركز ونقطة تمر بها الدائرة.

✏️ نستخدم قانون المسافة بين نقطتين:

$$r = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$$

✅ المثال 4: جد معادلة دائرة مركزها (2, 1) وتَمر بالنقطة (4, 3)

الخطوة 1: حساب نصف القطر

$$r = \sqrt{(4 – 2)^2 + (3 – 1)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$$

الخطوة 2: كتابة المعادلة

$$(x – 2)^2 + (y – 1)^2 = (\sqrt{8})^2 = 8$$

استخراج المركز من القطر

في حال كانت معطيات السؤال عبارة عن نهايتين لقطر الدائرة، يمكننا استخدام القانون التالي لاستخراج المركز:

$$\text{المركز } (h, k) = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$$

✅ المثال 5: جد معادلة الدائرة التي نهايتا قطرها (4, 5) و(-2, 3)

الخطوة 1: إيجاد المركز

$$h = \frac{4 + (-2)}{2} = 1, \quad k = \frac{5 + 3}{2} = 4 \Rightarrow المركز = (1, 4)$$

الخطوة 2: إيجاد نصف القطر

نحسب المسافة بين المركز وإحدى النهايتين:

$$r = \sqrt{(4 – 1)^2 + (5 – 4)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$

الخطوة 3: كتابة المعادلة

$$(x – 1)^2 + (y – 4)^2 = 10$$

معادلة الدائرة التي تمس مستقيمًا

إذا ذكر في السؤال أن الدائرة تمس مستقيمًا، نستخدم القانون التالي لحساب نصف القطر:

$$r = \frac{ |Ax + By + C| }{ \sqrt{A^2 + B^2} }$$

حيث:

• A, B, C: معاملات المستقيم من معادلته على الشكل $Ax + By + C = 0$
• (x, y): إحداثيات مركز الدائرة

✅ المثال 6: جد معادلة دائرة مركزها نقطة الأصل وتمس المستقيم $3x – 4y – 15 = 0$

الخطوة 1: المركز = (0, 0)

الخطوة 2: إيجاد نصف القطر

$$r = \frac{|3(0) – 4(0) – 15|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{15}{5} = 3$$

الخطوة 3: كتابة المعادلة

$$x^2 + y^2 = 3^2 = 9$$

ملخص الملاحظات المهمة

• إذا قيل إن المركز نقطة الأصل ⇒ إذًا المركز هو (0, 0).
• إذا قيل إن الدائرة تمر بنقطة ⇒ استخدم قانون المسافة لإيجاد r.
• إذا أعطاك نهايتي القطر ⇒ استخرج المركز باستخدام المتوسط الحسابي.
• إذا قيل إن الدائرة تمس مستقيمًا ⇒ استخدم قانون البُعد بين نقطة ومستقيم لاستخراج r.
• لا يمكن إيجاد معادلة الدائرة إلا إذا عرفت:
  • المركز (h, k)
  • نصف القطر r

الأسئلة الشائعة

🔸 هل يمكن أن تكون قيمة نصف القطر سالبة؟
لا، لأن المسافة لا تكون سالبة. دائمًا $r > 0$.

🔸 ماذا أفعل إذا أعطاني المعادلة وطلب مني المركز؟
حلل المعادلة على شكل $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$ واستخرج h وk وr مباشرة مع الانتباه لعكس الإشارة.

إذا فهمت هذا الدرس جيدًا، فأنت قطعت شوطًا كبيرًا نحو “الاعفاء” في مادة الرياضيات بإذن الله. استمر بمتابعة المحاضرات القادمة للفصل الثالث.