معادلة الدائرة التي تمس أحد المحورين أو كليهما – مراجعة – الصف الخامس العلمي

في هذا الدرس سنشرح بالتفصيل معادلة الدائرة التي تمس محور السينات أو الصادات أو كلاهما، وهي من المواضيع المهمة التي تتكرر في الامتحانات الشهرية. سنتناول الحالات الثلاث الممكنة، مع أمثلة محلولة وملاحظات تساعد على ترسيخ المفهوم لدى الطالب.

أولاً: تعريف معادلة الدائرة

معادلة الدائرة في الشكل القياسي هي:

$$(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$$

حيث:

• $(h, k)$ هو مركز الدائرة.
• $r$ هو نصف القطر.

ثانياً: حالات تمس الدائرة أحد المحورين أو كليهما

الحالة الأولى: الدائرة تمس المحور السيني

🔹 ملاحظة مهمة:
إذا كانت الدائرة تمس المحور السيني، فإن:

$$r = |k|$$

أي أن نصف القطر يساوي القيمة المطلقة للإحداثي العمودي $k$.

🔸 مثال: أوجد معادلة دائرة مركزها $(3, 2)$ وتمس المحور السيني.

📌 الحل: المركز $h = 3$، $k = 2$، و $r = |2| = 2$

نعوّض في المعادلة:

$$(x – 3)^2 + (y – 2)^2 = 4$$

نقوم بفك التربيع باستخدام قانون مربع الحداني:

$$x^2 – 6x + 9 + y^2 – 4y + 4 = 4$$

نرتب:

$$x^2 – 6x + y^2 – 4y + 9 = 0$$

الحالة الثانية: الدائرة تمس المحور الصادي

🔹 ملاحظة مهمة:
إذا كانت الدائرة تمس المحور الصادي، فإن:

$$r = |h|$$

🔸 مثال: أوجد معادلة دائرة مركزها $(4, -1)$ وتمس المحور الصادي.

📌 الحل: $h = 4$، $k = -1$، و $r = |4| = 4$

نعوّض:

$$(x – 4)^2 + (y + 1)^2 = 16$$

نقوم بفك التربيع:

$$x^2 – 8x + 16 + y^2 + 2y + 1 = 16$$

نرتب:

$$x^2 – 8x + y^2 + 2y + 1 = 0$$

الحالة الثالثة: الدائرة تمس كلا المحورين

🔹 ملاحظة مهمة: إذا كانت الدائرة تمس المحورين السيني والصادي معًا، فإن:

$$|h| = |k| = r$$

ويكون مركز الدائرة في أحد الأرباع الأربعة بحسب الإشارات. نحدد الإشارات وفقًا للربع الذي تقع فيه الدائرة.

🔸 إشارات الأرباع:

🔸 مثال: أوجد معادلة دائرة تقع في الربع الثالث وتمس المحورين، ونصف قطرها $r = 5$

📌 الحل: بما أنها في الربع الثالث فـ $h = -5$، $k = -5$

$$(x + 5)^2 + (y + 5)^2 = 25$$

نقوم بفك التربيع:

$$x^2 + 10x + 25 + y^2 + 10y + 25 = 25$$

نرتب وننقل الـ 25:

$$x^2 + 10x + y^2 + 10y + 25 = 0$$

ثالثاً: تحويل المعادلة القياسية إلى معادلة عامة

المعادلة العامة للدائرة تكون بالشكل:

$$x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$$

ويمكن الوصول إليها من خلال فك المعادلة القياسية.

🔸 مثال: حول المعادلة التالية إلى معادلة عامة:

$$(x – 1)^2 + (y + 3)^2 = 4$$

📌 الحل:

$$x^2 – 2x + 1 + y^2 + 6y + 9 = 4 \Rightarrow x^2 + y^2 – 2x + 6y + 10 = 4 \Rightarrow x^2 + y^2 – 2x + 6y + 6 = 0$$

رابعاً: استخراج المركز ونصف القطر من المعادلة العامة

إذا كانت المعادلة العامة بالشكل:

$$x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$$

يمكن إيجاد مركز الدائرة ونصف القطر من خلال القوانين:

📌 المركز:

$$(h, k) = \left( \frac{-a}{2}, \frac{-b}{2} \right)$$

📌 نصف القطر:

$$r = \sqrt{h^2 + k^2 – c}$$

🔸 مثال: أوجد مركز ونصف قطر الدائرة:

$$x^2 + y^2 – 6x + 4y – 3 = 0$$

📌 الحل:

• $a = -6$، $b = 4$، $c = -3$
• المركز:

$$h = \frac{-(-6)}{2} = 3,\quad k = \frac{-4}{2} = -2$$

• نصف القطر:

$$r = \sqrt{3^2 + (-2)^2 – (-3)} = \sqrt{9 + 4 + 3} = \sqrt{16} = 4$$

خامساً: تمرين شامل

🔸 تمرين: أوجد معادلة دائرة تمر بالنقاط:
A(0, 0), B(2, 0), C(3, -1)

📌 خطوات الحل:

1. عوّض كل نقطة في المعادلة العامة:

$$x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$$

ستحصل على ثلاث معادلات بثلاث مجاهيل (a، b، c). 2. حل النظام الخطي. 3. عوض القيم المستخرجة في المعادلة لتكوين معادلة الدائرة.

خلاصة الملاحظات:

• عند تمس الدائرة محورًا:
  • المحور السيني ⟹ $r = |k|$
  • المحور الصادي ⟹ $r = |h|$
• عند تمس الدائرة المحورين معًا:
  • $|h| = |k| = r$
  • يتم تحديد الإشارات حسب الربع.
• التحويل بين الصيغة القياسية والعامة للدائرة يتم عبر فك مربع الحداني.
• لا بد من حفظ قوانين:
  • مركز الدائرة من المعادلة العامة.
  • نصف القطر من المركز والثابت الأخير.

أسئلة تدريبية:

1. أوجد معادلة دائرة مركزها (2, -3) وتمس المحور الصادي.
2. إذا كانت معادلة دائرة هي:
   $x^2 + y^2 – 4x + 6y + 1 = 0$
   أوجد مركز الدائرة ونصف قطرها.
3. أوجد معادلة دائرة تقع في الربع الأول وتمس المحورين، ونصف قطرها 6.

إذا أعجبك هذا الدرس ووجدته مفيدًا، لا تنسَ مشاركته مع زملائك، واستمر بمتابعة سلسلة دروس الرياضيات للخامس العلمي لتحقيق هدف الاعفاء العام بإذن الله.