القطوع المخروطية – الدائرة للصف الخامس العلمي | الفصل الثالث من الرياضيات

🟡 مقدمة:

نبدأ معكم أولى حلقات الفصل الثالث، الذي يحمل عنوان “القطوع المخروطية”. هذا الفصل مهم وسهل، ويركز على أحد أنواع القطوع المخروطية الأربعة، ألا وهي الدائرة، وسنتناولها بكل تفاصيلها وأسئلتها وأفكارها. علمًا أن القطوع الثلاثة الأخرى: القطع المكافئ، القطع الناقص، والقطع الزائد ستُدرس لاحقًا في الصف السادس العلمي.

🟣 تعريف القطوع المخروطية:

🔹 القطوع المخروطية هي أشكال ناتجة من تقاطع مستوى مع مخروط.
🔹 عددها أربعة:

1. الدائرة
2. القطع المكافئ
3. القطع الناقص
4. القطع الزائد

🔺 في هذا الفصل ندرس فقط “الدائرة”، وهي موجودة ضمن منهاج الصف الخامس العلمي.

🟢 تعريف الدائرة:

الدائرة: هي مجموعة من النقاط التي تبعد بعدًا ثابتًا عن نقطة معينة تسمى “المركز”.
🔸 هذا البعد الثابت يسمى نصف القطر ويرمز له بالرمز $R$.

🟡 عناصر الدائرة:

1. المركز (Center):
   • يرمز له بـ $C$.
   • يكون على شكل زوج مرتب $(h, k)$.
2. نصف القطر (Radius):
   • يرمز له بـ $R$.
   • هو المسافة من المركز إلى أي نقطة على محيط الدائرة.

🔵 معادلة الدائرة القياسية:

إذا كان مركز الدائرة هو $(h, k)$ ونصف القطر $R$، فإن معادلة الدائرة تكون:

$$(x – h)^2 + (y – k)^2 = R^2$$

🔸 ملاحظات مهمة:

• $h$ و $k$: يتم تعويضهما من مركز الدائرة.
• $R$: يتم تربيعه ووضعه على الطرف الأيمن من المعادلة.
• $x$ و $y$: لا يتم تعويضهما، لأنهما يبقيان كمتغيرين في المعادلة.

🧠 ملاحظة:

لكي تستخرج معادلة الدائرة، يجب أن يتوفر:

1. المركز $(h, k)$
2. نصف القطر $R$

إذا لم يتوفر أحدهما، سنحتاج إلى حسابه باستخدام قانون المسافة.

✍️ أمثلة محلولة:

🧩 المثال 1:

أوجد معادلة الدائرة التي مركزها $C = (3, -2)$ ونصف قطرها $R = 5$

الحل:

$$(x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 5^2 \Rightarrow (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$

🧩 المثال 2:

مركز الدائرة $C = (5, 3)$، ونصف قطرها $R = 4$

الحل:

$$(x – 5)^2 + (y – 3)^2 = 16$$

🧩 المثال 3 (مطلوب: المعادلة العامة):

أوجد المعادلة العامة للدائرة التي مركزها $(1, -3)$، ونصف قطرها $R = 2$

الحل:

$$(x – 1)^2 + (y + 3)^2 = 4$$

افتح الأقواس:

$$x^2 – 2x + 1 + y^2 + 6y + 9 = 4 \Rightarrow x^2 + y^2 – 2x + 6y + 10 = 4 \Rightarrow x^2 + y^2 – 2x + 6y + 6 = 0$$

🧩 الملاحظة الذهبية:

إذا قال: “مركز الدائرة هو نقطة الأصل” فهذا يعني أن:

$$h = 0,\quad k = 0$$

فتصبح المعادلة:

$$x^2 + y^2 = R^2$$

🔵 أسئلة عكسية:

🧩 المثال 4:

إذا كانت معادلة الدائرة هي:

$$(x – 5)^2 + (y + 3)^2 = 49$$

المطلوب: أوجد المركز ونصف القطر

الحل:

• المركز: $C = (5, -3)$
• نصف القطر: $R = \sqrt{49} = 7$

🧩 استخراج نصف القطر من نقطة ومركز:

إذا لم يُعطى نصف القطر، بل أعطى مركزًا ونقطة تمر بها الدائرة، نستخدم قانون المسافة بين نقطتين:

$$R = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$$

🧩 المثال 5:

مركز الدائرة $C = (4, 3)$، والدائرة تمر بالنقطة $P = (2, 1)$

$$R = \sqrt{(2 – 4)^2 + (1 – 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$$ $$\text{معادلة الدائرة: } (x – 4)^2 + (y – 3)^2 = 8$$

🧩 استخراج المعادلة من نهايتي قطر:

إذا أعطى نقطتين هما نهايتي قطر، نستخدم:

1. حساب المركز:

$$h = \frac{x_1 + x_2}{2},\quad k = \frac{y_1 + y_2}{2}$$

2. حساب نصف القطر:

• نأخذ إحدى النقطتين كمركز ونطبق قانون المسافة مع الأخرى.

🧩 المثال 6:

نهايتا القطر هما $A(4, 5)$ و $B(-2, 3)$

• المركز:

$$h = \frac{4 + (-2)}{2} = 1,\quad k = \frac{5 + 3}{2} = 4 \Rightarrow C = (1, 4)$$

• نصف القطر:

$$R = \sqrt{(4 – 1)^2 + (5 – 4)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$

المعادلة:

$$(x – 1)^2 + (y – 4)^2 = 10$$

✅ ملخص مهم:

📌 كلمات مفتاحية للبحث:

• القطوع المخروطية للخامس العلمي
• معادلة الدائرة
• قانون نصف القطر
• مركز الدائرة
• استخراج المعادلة من نقطتين
• تطبيق قانون المسافة