معادلة الدائرة وموقعها بالنسبة للمستقيمات والمحاور – رياضيات الصف الخامس العلمي

مقدمة

في هذا الدرس من مادة الرياضيات للصف الخامس العلمي، نكمل شرح الفصل الثالث (القطوع المخروطية) وبالتحديد الجزء المتعلق بـ الدائرة. سنتعلم كيفية إيجاد معادلة الدائرة في حالات مختلفة، مثل تمس مستقيمًا أو أحد المحورين، بالإضافة إلى طرق التعرف على معادلة الدائرة من بين مجموعة معادلات. سنتناول جميع المفاهيم الأساسية مع أمثلة مشروحة خطوة بخطوة.

تعريف معادلة الدائرة العامة

معادلة الدائرة العامة تُكتب بالصورة:

(x – h)² + (y – k)² = r²

حيث:

• (h, k): مركز الدائرة.
• r: نصف القطر.

فإذا كان مركز الدائرة هو نقطة الأصل (0, 0) فإن المعادلة تصبح ببساطة:

x² + y² = r²

متى نستخدم معادلة المسافة لإيجاد نصف القطر؟

إذا طُلب منك إيجاد معادلة دائرة مركزها نقطة الأصل وتمس مستقيمًا، فإن الحل يتطلب حساب نصف القطر r باستخدام قانون المسافة بين نقطة ومستقيم، حيث أن المسافة بين المركز والمستقيم تمثل نصف القطر.

قانون المسافة بين نقطة ومستقيم

إذا كان لدينا نقطة $(x_1, y_1)$ ومستقيم على الصورة:

Ax + By + C = 0

فإن المسافة (d) من النقطة إلى المستقيم هي:

d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)

في حالة الدائرة، هذه المسافة تمثل نصف القطر r.

مثال محلول: دائرة مركزها الأصل وتمس المستقيم

السؤال: جد معادلة دائرة مركزها نقطة الأصل وتمس المستقيم:

3x – 4y – 15 = 0

الحل:

نطبق قانون المسافة لإيجاد r:

• المركز = (0, 0)
• المعادلة: A = 3، B = -4، C = -15

r = |(3)(0) + (-4)(0) + (-15)| / √(3² + (-4)²)
= |−15| / √(9 + 16)
= 15 / √25 = 15 / 5 = 3

إذن:
r = 3

وبما أن المركز هو الأصل (0, 0) فإن معادلة الدائرة هي:

x² + y² = 9

كيف نميز معادلة الدائرة من بين المعادلات؟

للتمييز بين المعادلات، يجب أن تتوفر الشروط التالية:

1. تحتوي على: x² + y²
2. معاملات x² و y² متساوية
3. لا تحتوي على الحد xy
4. المعادلة تكون من الدرجة الثانية (أي فيها تربيع)

مثال تحليلي:

أي من المعادلات الآتية تمثل دائرة؟

1. x² + 3y² = 5 → لا تمثل دائرة (معاملات التربيع غير متساوية)
2. x² + y² – 6x – 4y + 13 = 0 → ✅ تمثل دائرة
3. x² + y² + 2xy = 0 → لا تمثل دائرة (تحتوي على xy)
4. x + y = 4 → لا تمثل دائرة (من الدرجة الأولى)

ملاحظات مهمة عن المعادلة غير القياسية

إذا كانت المعادلة مكتوبة على الشكل الموسّع:

x² + y² + Ax + By + C = 0

فإننا نستخدم قوانين خاصة لإيجاد مركز الدائرة ونصف القطر:

1. مركز الدائرة (h, k)

نستخدم القانون:

• h = -A / 2
• k = -B / 2

2. نصف القطر

r = √(h² + k² – C)

مثال محلول:

المعادلة:
2x² + 2y² – 12x – 8y + 6 = 0

الخطوة 1: تبسيط المعادلة

اقسم كل الحدود على 2:

x² + y² – 6x – 4y + 3 = 0

الخطوة 2: استخراج A و B و C

• A = -6
• B = -4
• C = 3

الخطوة 3: إيجاد المركز (h, k)

• h = -(-6)/2 = 3
• k = -(-4)/2 = 2

المركز هو (3, 2)

الخطوة 4: حساب نصف القطر

r = √(3² + 2² – 3) = √(9 + 4 – 3) = √10

إذا مست الدائرة أحد المحورين

الحالة الأولى: تمس المحور السيني

• نأخذ نصف القطر r = |k| (قيمة الـ y في المركز)

الحالة الثانية: تمس المحور الصادي

• نأخذ r = |h| (قيمة الـ x في المركز)

الحالة الثالثة: تمس كلا المحورين

• في هذه الحالة |h| = |k|، وأنت مخيّر تأخذ أيًّا منهما لنصف القطر.

مثال محلول على الحالات الثلاثة

معطى: مركز الدائرة (4, -4)

1. إذا تمس المحور السيني

• نأخذ r = |k| = 4

معادلة الدائرة:

(x – 4)² + (y + 4)² = 16

2. إذا تمس المحور الصادي

• نأخذ r = |h| = 4

المعادلة تبقى كما هي لأن h = 4

3. إذا تمس كلا المحورين

• r = 4 (لأن h = k = 4)

المعادلة نفسها تنطبق.

فك التربيع لمعادلة الدائرة

لتوسيع المعادلة:

(x – a)² = x² – 2ax + a²

(y – b)² = y² – 2by + b²

ثم جمع الحدود وترتيبها للحصول على الصيغة العامة.

مثلاً:

(x – 3)² + (y + 2)² = 25

تصبح:

x² – 6x + 9 + y² + 4y + 4 = 25

ثم نبسط:

x² + y² – 6x + 4y – 12 = 0

خاتمة الدرس

بهذا نكون قد غطينا بشكل شامل موضوع معادلة الدائرة، سواء كانت على الشكل القياسي أو الموسع، وكيفية التعامل مع حالاتها المختلفة، خاصة عند ملامستها للمستقيمات أو المحاور. كما تعلمنا التمييز بين المعادلات وتحديد ما إذا كانت تمثل دائرة أم لا.

ننصح الطلبة بحفظ القوانين المهمة التالية:

• قانون المسافة كنصف القطر.
• قانون المركز من معادلة موسعة.
• قانون نصف القطر من المعادلة الموسعة.