شرح معادلة الدائرة والمماس | الرياضيات – الصف الخامس العلمي

تمهيد:

نُكمل الحديث عن معادلة الدائرة، مع التركيز على مفاهيم أساسية مثل: المعادلة العامة، تحديد المركز ونصف القطر، الزوايا الربعية، الحالات الخاصة عندما تمس الدائرة المحورين، إضافة إلى استخراج معادلة المماس عند نقطة معينة.

أولاً: المعادلة العامة للدائرة

تعريف:

المعادلة العامة للدائرة هي الشكل الذي نحصل عليه بعد فك الأقواس في معادلة الدائرة القياسية:

$$(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$$

عند فك الأقواس، نحصل على المعادلة العامة:

$$x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$$

ملاحظات مهمة:

• A: يمثل معامل $x$.
• B: يمثل معامل $y$.
• C: يمثل الحد الثابت.
• $x^2$ و $y^2$ لا يُنظر لهما عند استخراج المركز ونصف القطر.

استخراج المركز ونصف القطر:

• المركز $C(h, k)$:

$$h = -\frac{A}{2}, \quad k = -\frac{B}{2}$$

• نصف القطر:

$$r = \sqrt{h^2 + k^2 – C}$$

ثانياً: ملاحظات الزوايا الربعية وأهميتها

عند تحديد موقع مركز الدائرة، يجب معرفة في أي ربع تقع:

1. الربع الأول: $+ , +$
2. الربع الثاني: $– , +$
3. الربع الثالث: $– , –$
4. الربع الرابع: $+ , –$

هذه الإشارات مهمة عندما يُقال في السؤال: “تقع في الربع الثاني”، مثلاً. وبالتالي يجب ضبط الإشارات عند تعويض $h$ و $k$.

ثالثاً: الحالة الخاصة – عندما تمس الدائرة المحورين

تعريف:

إذا قيل في السؤال إن الدائرة “تمس المحورين”، فهذا يعني أن:

$$|h| = |k| = r$$

أي أن المركز يقع على مسافة نصف القطر من كلا المحورين، وبالتالي فإن:

$$h = \pm r , \quad k = \pm r$$

يُحدد الإشارات وفق الربع الذي تقع فيه الدائرة.

رابعاً: معادلة الدائرة التي تمر بنقطتين والمركز على محور

الملاحظة:

إذا قال: “تمر الدائرة بنقطتين” و”مركزها على محور السينات أو الصادات”، فهذا يدل على الآتي:

• إذا كان على محور الصادات: $h = 0$، و $k$ مجهول.
• إذا كان على محور السينات: $k = 0$، و $h$ مجهول.

طريقة الحل:

1. نفرض المركز بحسب المعطى (مثلاً $C = (0, k)$ ).
2. نستخدم قانون المسافة (بين المركز والنقطة) مرتين لنحسب نصف القطر.
3. نساوي المعادلتين ونجري عملية تربيع الطرفين.
4. نحصل على معادلة تحتوي مجهولًا واحدًا فقط (إما $k$ أو $h$) ونحله.

قانون المسافة المستخدم:

$$r = \sqrt{(x – h)^2 + (y – k)^2}$$

خامساً: معادلة دائرة تمر بثلاث نقاط

معلومة وزارية:

إذا مرت الدائرة بثلاث نقاط، فإن المعادلة العامة لها:

$$x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$$

خطوات الحل:

1. تُعوض كل نقطة في المعادلة العامة، وتحصل على 3 معادلات تحتوي المجاهيل $A, B, C$.
2. تُحل المعادلات باستخدام الحذف أو التعويض.
3. تعوض القيم الناتجة في المعادلة العامة وتكون هي معادلة الدائرة المطلوبة.

سادساً: معادلة المماس عند نقطة

القانون:

$$y – y_1 = m(x – x_1)$$

حيث:

• $(x_1, y_1)$: هي نقطة التماس.
• $m$: ميل المماس.

طريقة إيجاد ميل المماس:

1. نحسب ميل نصف القطر (الواصل بين المركز والنقطة):

$$m_1 = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}$$

2. ميل المماس (عمودي على نصف القطر) يكون:

$$m = -\frac{1}{m_1}$$

نقلب الكسر ونغير الإشارة.

3. نعود إلى قانون المماس ونعوض بالقيم.

سابعاً: سؤال مميز – المركز يقع على مستقيم

إذا قيل: “يقع مركز الدائرة على مستقيم معين”، فمعناه أن الإحداثيين $h, k$ يحققان معادلة هذا المستقيم.

مثال:

معادلة المستقيم:

$$2x – 4y – 5 = 0$$

والمركز: $C = (-A/2, -B/2)$

نعوض $h$ و $k$ في معادلة المستقيم، ونستخرج علاقة إضافية تساعدنا في حل المعادلة الثلاثية (معادلتان من النقطتين، وثالثة من المستقيم).

أمثلة تدريبية (أسئلة وأجوبة)

س: جد معادلة الدائرة التي تمر بالنقطتين (2, 1) و(–1, 1) ومركزها يقع على محور الصادات.

ج:

• نفرض المركز: $C = (0, k)$
• نطبق قانون المسافة مرتين مع النقطتين.
• نساوي المعادلتين ونربعهما.
• نحصل على قيمة $k$، ثم نعود ونحسب $r$.
• نكتب المعادلة القياسية:

$$(x – 0)^2 + (y – k)^2 = r^2$$

واجبات مقترحة للطلاب

1. جد معادلة الدائرة التي تمر بالنقاط:
   • (0, 0)
   • (2, 0)
   • (3, –1)
2. جد معادلة مماس لدائرة مركزها (0, 0) تمر بالنقطة (1, 2).

خاتمة:

بهذا نكون قد أكملنا الفصل الثالث المتعلق بالقطوع المخروطية، تحديدًا معادلة الدائرة والمماس، مع جميع الحالات الخاصة والأساليب المختلفة في تحديد المعادلة. تأكد من حفظ القوانين والتدريب على الحل لأن هذا الفصل هو أساس لفصل الزوايا في الدوال المثلثية القادم.