المتتابعات للصف الخامس العلمي – المتتابعة الحسابية والمفاهيم الأساسية

 

 

تعريف المتتابعة

المتتابعة: هي ترتيب منظم لعناصر وفق قاعدة معينة، بحيث يمكن تحديد كل حد من حدودها باستخدام موقعه في الترتيب (عادة باستخدام الرمز nn).

مثال على استخراج أول 6 حدود من متتابعة

المطلوب: أوجد أول 6 حدود للمتتابعة التالية:
Un=1−2nU_n = 1 – \frac{2}{n}

الحل: نعوض القيم من n=1n = 1 إلى n=6n = 6:

  • U1=1−21=1−2=−1U_1 = 1 – \frac{2}{1} = 1 – 2 = -1
  • U2=1−22=1−1=0U_2 = 1 – \frac{2}{2} = 1 – 1 = 0
  • U3=1−23=33−23=13U_3 = 1 – \frac{2}{3} = \frac{3}{3} – \frac{2}{3} = \frac{1}{3}
  • U4=1−24=1−12=12U_4 = 1 – \frac{2}{4} = 1 – \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
  • U5=1−25=55−25=35U_5 = 1 – \frac{2}{5} = \frac{5}{5} – \frac{2}{5} = \frac{3}{5}
  • U6=1−26=66−26=46=23U_6 = 1 – \frac{2}{6} = \frac{6}{6} – \frac{2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

المتتابعة:
−1,0,13,12,35,23-1, 0, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{2}{3}

ملاحظة مهمة – تحويل الواحد إلى كسر

في حالة وجود توحيد مقامات عند طرح كسر من عدد صحيح، يمكن كتابة الواحد بصيغة كسر مكافئ، مثلًا:

  • 1=331 = \frac{3}{3} لتسهيل الطرح من كسر مقامه 3.
  • هذه الطريقة تساعد في تسهيل الطرح بدون الحاجة للحساب الذهني فقط.

قانون هام – الإشارة السالبة مع الأسس

الملاحظة:

  • إذا كان الأس زوجيًا، فإن السالب يختفي (لأن سالب × سالب = موجب).
  • إذا كان الأس فرديًا، فإن السالب يبقى (لأن سالب × سالب × سالب = سالب).

مثال توضيحي:

  • (−1)2=1(-1)^2 = 1 ✅
  • (−1)3=−1(-1)^3 = -1 ✅

قانون آخر – الأس صفر

أي عدد مرفوع للأس صفر يكون الناتج دائمًا واحد:

  • a0=1a^0 = 1 لأي عدد a≠0a \neq 0

أمثلة:

  • 50=15^0 = 1
  • 10000=11000^0 = 1

تمرين مهم – متتابعة تعتمد على الأسس

المطلوب: احسب أول 6 حدود للمتتابعة:
Un=2n−1U_n = 2^{n – 1}

الحل:

  • U1=21−1=20=1U_1 = 2^{1 – 1} = 2^0 = 1
  • U2=22−1=21=2U_2 = 2^{2 – 1} = 2^1 = 2
  • U3=23−1=22=4U_3 = 2^{3 – 1} = 2^2 = 4
  • U4=24−1=23=8U_4 = 2^{4 – 1} = 2^3 = 8
  • U5=25−1=24=16U_5 = 2^{5 – 1} = 2^4 = 16
  • U6=26−1=25=32U_6 = 2^{6 – 1} = 2^5 = 32

المتتابعة:
1,2,4,8,16,321, 2, 4, 8, 16, 32

تمرين مهم – متتابعة تعتمد على التبديل بين الفردي والزوجي

المطلوب: أوجد أول 8 حدود للمتتابعة المعرفة كالتالي:

  • إذا كان nn فرديًا: Un=n+2U_n = n + 2
  • إذا كان nn زوجيًا: Un=4nU_n = \frac{4}{n}

الحل:

الأعداد الفردية:

  • U1=1+2=3U_1 = 1 + 2 = 3
  • U3=3+2=5U_3 = 3 + 2 = 5
  • U5=5+2=7U_5 = 5 + 2 = 7
  • U7=7+2=9U_7 = 7 + 2 = 9

الأعداد الزوجية:

  • U2=42=2U_2 = \frac{4}{2} = 2
  • U4=44=1U_4 = \frac{4}{4} = 1
  • U6=46=23U_6 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
  • U8=48=12U_8 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

المتتابعة (بالتسلسل):
3,2,5,1,7,23,9,123, 2, 5, 1, 7, \frac{2}{3}, 9, \frac{1}{2}

سؤال مهم من التمارين – إثبات أن المتتابعة تزايدية

المعطى: Un=n2+2nU_n = n^2 + 2n

المطلوب: أثبت أن:
Un+1>UnU_{n+1} > U_n

الحل:

نحسب Un+1−UnU_{n+1} – U_n ونثبت أن الناتج موجب:

  • Un+1=(n+1)2+2(n+1)=n2+2n+1+2n+2=n2+4n+3U_{n+1} = (n + 1)^2 + 2(n + 1) = n^2 + 2n + 1 + 2n + 2 = n^2 + 4n + 3
  • Un=n2+2nU_n = n^2 + 2n

نحسب الفرق:

Un+1−Un=(n2+4n+3)−(n2+2n)=2n+3U_{n+1} – U_n = (n^2 + 4n + 3) – (n^2 + 2n) = 2n + 3

ولأن 2n+3>02n + 3 > 0 لجميع n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+، فإن:
Un+1>UnU_{n+1} > U_n

الاستنتاج: المتتابعة تزايدية.

خاتمة الدرس

بهذا نكون قد أنهينا شرح النوع الأول من المتتابعات، مع تناول أمثلة متنوعة وملاحظات مهمة جدًا حول الأسس، الإشارات، تحويل الكسر، وكيفية كتابة الحدود بدقة.

في الحلقات القادمة، سنبدأ بشرح المتتابعة الحسابية بشكل مفصل مع أفكار جديدة ومتنوعة.

المحاضرة السابق
رجوع إلى الدرس
المحاضرة التالي