المتتابعة الحسابية – شرح مفصل للصف الخامس العلمي

🔶 مقدمة

طلابنا الأعزاء، نستكمل اليوم شرح الفصل الثاني من مادة الرياضيات بعنوان المتتابعات، وسنركز في هذه المحاضرة على المتتابعة الحسابية، التي تُعد من أهم أنواع المتتابعات وتأتي في الامتحانات الشهرية ونصف السنة. سنتناول تعريف المتتابعة الحسابية، عناصرها، قانونها العام، وكيفية استخدامها لحساب الحدود المختلفة، مع تطبيقات متعددة.

🔷 أولًا: تعريف المتتابعة الحسابية

المتتابعة الحسابية هي متتابعة عددية يكون الفرق بين أي حدين متتاليين فيها ثابتًا، سواء كان هذا الفرق موجبًا أو سالبًا.
🔸 هذا الفرق الثابت يُسمى بـ الأساس (d).

مثال:

إذا كانت المتتابعة: 1، 4، 7، 10، …
نلاحظ أن الزيادة بين كل حد والحد الذي يليه هي +3، وهذا يعني أنها متتابعة حسابية بأساس d = 3.

🔷 ثانيًا: عناصر المتتابعة الحسابية

1. الحد الأول (a): ويمثّل أول عدد في المتتابعة.
2. الأساس (d): الفرق الثابت بين كل حدين متتاليين.
3. الحد النوني (Un): أي حد في المتتابعة يمكن حسابه من خلال القانون العام.

🔷 ثالثًا: القانون العام للمتتابعة الحسابية

يُستخدم هذا القانون لحساب أي حد في المتتابعة:

$$U_n = a + (n – 1) \cdot d$$

شرح الرموز:

• $U_n$: الحد رقم n في المتتابعة.
• $a$: الحد الأول.
• $d$: الأساس.
• $n$: ترتيب الحد المطلوب.

🔷 رابعًا: كيفية حساب الحدود

🔹 إذا عُطيت قيمة الحد الأول والأساس:

نستخدم القانون مباشرة.

مثال 1:

أوجد الحدود الستة الأولى للمتتابعة الحسابية إذا كان:

• $a = 7$
• $d = -3$

نحسب:

إذن: المتتابعة هي: 7، 4، 1، -2، -5، -8

🔷 خامسًا: كيفية إيجاد الأساس (d)

إذا لم يُعطى الأساس بشكل مباشر، نستطيع حسابه باستخدام العلاقة:

$$d = U_2 – U_1$$

أو بشكل عام:

$$d = U_{n} – U_{n-1}$$

مثال 2:

إذا كانت المتتابعة: 4، 10، 16، …
نحسب:

$$d = 10 – 4 = 6$$

🔷 سادسًا: تطبيق على القانون العام

مثال 3:

إذا كانت متتابعة حسابية حيث:

• $a = 4$
• $d = 5$

أوجد $U_{10}$

$$U_{10} = 4 + (10 – 1) \cdot 5 = 4 + 9 \cdot 5 = 4 + 45 = 49$$

🔷 سابعًا: كيفية إيجاد الحد الأول (a) إذا عُطيت قيمة أحد الحدود

نستخدم القانون العام ونعوّض بالقيم المعطاة.

مثال 4:

إذا كان:

• $U_7 = 36$
• $d = 4$

أوجد $a$:

$$U_7 = a + (7 – 1) \cdot 4 = a + 24 = 36 \Rightarrow a = 36 – 24 = 12$$

🔷 ثامنًا: إيجاد عدد حدود متتابعة

القانون المستخدم:

$$U_n = a + (n – 1) \cdot d$$

نحل المعادلة لإيجاد $n$.

مثال 5:

أوجد عدد الحدود في المتتابعة التي تبدأ بـ -7 وتنتهي بـ 113، إذا كان الأساس $d = 3$.

المعطيات:

• $a = -7$
• $U_n = 113$
• $d = 3$

$$113 = -7 + (n – 1) \cdot 3 \Rightarrow 113 + 7 = 3(n – 1) \Rightarrow 120 = 3(n – 1) \Rightarrow n – 1 = 40 \Rightarrow n = 41$$

إذن عدد الحدود هو 41 حدًا.

🔷 تاسعًا: ملاحظات مهمة

• $a$ هو الحد الأول.
• $U_n$ هو الحد الأخير أو الحد المطلوب.
• $d$ يمكن استخراجه من أي حدين متتاليين.
• إذا لم تُعطى $a$ أو $d$، نستخدم المعطيات المتوفرة لاستخراجهما باستخدام القانون العام.

🔷 عاشرًا: تدريب تطبيقي

🔸 تمرين:

إذا كانت متتابعة حسابية حدها الخامس $U_5 = -4$ وأساسها $d = 12$، أوجد الحد رقم 200.

الحل:

نستخدم القانون:

$$U_n = a + (n – 1) \cdot d$$

أولًا: نستخدم $U_5 = a + 4d$ لإيجاد $a$:

$$-4 = a + 4 \cdot 12 \Rightarrow -4 = a + 48 \Rightarrow a = -52$$

الآن نحسب $U_{200}$:

$$U_{200} = -52 + (200 – 1) \cdot 12 = -52 + 199 \cdot 12 = -52 + 2388 = 2336$$

إذن الحد رقم 200 هو: 2336

🟩 خلاصة الدرس