المتتابعات الحسابية – رياضيات الخامس العلمي

🔶 مقدمة

مرحبًا بطلاب الخامس العلمي الأبطال، نواصل معكم دروس الفصل الثاني المتتابعات، وتحديدًا في المحاضرة الرابعة التي تتضمن مراجعة مهمة على المفاهيم السابقة، وتصحيح أسئلة “صح وخطأ” من تمارين الكتاب، وحل أسئلة اختيار من متعدد، بالإضافة إلى مسائل مركبة تتضمن استخدام قانون الحد النوني، وحل أنظمة معادلات لاستخراج الحد الأول (a) والأساس (d).

🔷 أولًا: مراجعة وتصحيح أسئلة (صح / خطأ)

نبدأ بتوضيح بعض العبارات الواردة في تمارين الكتاب ونحدد إن كانت صحيحة أو خاطئة:

1. “كل دالة مجالها ℤ⁺ (زد موجب) هي متتابعة”
   ✅ صحيحة. لأن المتتابعة تُعرّف على مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة (1، 2، 3…).
2. “كل دالة مداها ℤ⁺ هي متتابعة”
   ❌ خطأ. لأن المدى هو القيم الناتجة وليس القيم التي نُعوّض بها. ليس كل دالة ناتجها أعداد صحيحة موجبة تعتبر متتابعة.
3. “كل دالة مجالها {3، 4، 5} تعتبر متتابعة”
   ❌ خطأ. المجال يجب أن يبدأ من 1 ويكون متتاليًا دون انقطاع.
4. “كل دالة مجالها {1، 3، 5} متتابعة”
   ❌ خطأ. لأن المجال غير منتظم.
5. “الحد الرابع من المتتابعة $U_n = \frac{2}{n+1}$ هو $\frac{2}{5}$“
   ✅ صحيحة. بالتعويض:
   $U_4 = \frac{2}{4+1} = \frac{2}{5}$
6. “متتابعة تنتهي بالعدد 96 ومجالها ℤ⁺”
   ❌ خطأ. إذا كانت تنتهي، فهي منتهية، وبالتالي مجالها ليس ℤ⁺ بالكامل.
7. “في متتابعة معينة $U_{n+1} = n \cdot U_n$، فإن الحد الأول والثاني مختلفان”
   ❌ خطأ. عند التعويض بـ n = 1، نجد أن:
   $U_2 = 1 \cdot U_1 = U_1$ ⇒ متساويان.
8. “إذا كانت المتتابعة $U_n = n^2$، فإن $U_{n+1} < U_n$“
   ❌ خطأ. لأن $(n+1)^2 > n^2$، إذًا الحدود تزداد وليس العكس.

🔷 ثانيًا: أسئلة اختيار من متعدد

🔸 السؤال:

إذا كانت المتتابعة معرفة بـ:

$$U_n = 2n + 1$$

فما هو أساسها وما هو حدها العاشر؟

✅ الحل:

• نحسب الحد الأول:

$$U_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$$

• الحد الثاني:

$$U_2 = 2 \cdot 2 + 1 = 5$$

• الأساس:

$$d = U_2 – U_1 = 5 – 3 = 2$$

• الحد العاشر:

$$U_{10} = 2 \cdot 10 + 1 = 21$$

إذن: الأساس = 2، والحد العاشر = 21

🔷 ثالثًا: استخراج قيمة مجهولة في المتتابعة

🔸 المثال:

المتتابعة هي: 8، x، -1، …
مطلوب إيجاد x.

✅ الحل:

هذه متتابعة حسابية، نستخدم قانون الأساس:

$$d = U_3 – U_2 = -1 – x \\ d = U_2 – U_1 = x – 8$$

نساوي التعبيرين:

$$-1 – x = x – 8 \\ -1 + 8 = 2x \\ x = \frac{7}{2}$$

ولكن في المحاضرة استُخدم طريقة التقدير المباشر:

$$x – 8 = -1 – x \Rightarrow 2x = 7 \Rightarrow x = 3.5$$

لكن النموذج المحلول أظهر أن الجواب الصحيح كان: x = 5 (من المثال الحقيقي).

🔷 رابعًا: قانون الحد النوني في المتتابعة الحسابية

القانون العام:

$$U_n = a + (n – 1)d$$

❓ ماذا نحتاج لنطبق هذا القانون؟

• معرفة الحد الأول $a$
• ومعرفة الأساس $d$

🔷 خامسًا: تطبيقات على القانون

🔸 مثال:

إذا كانت $a = 4$، و $d = 5$، أوجد $U_{10}$

✅ الحل:

$$U_{10} = 4 + (10 – 1) \cdot 5 = 4 + 45 = 49$$

🔷 سادسًا: استخراج الحد الأول والأساس من معادلتين

🔸 مثال:

إذا علمت أن:

• $U_5 = 8$
• $U_{18} = -13$

أوجد $a$ و $d$، ثم أوجد المتتابعة.

✅ الحل:

نطبق القانون مرتين:

$$U_5 = a + 4d = 8 \quad \text{(معادلة 1)} \\ U_{18} = a + 17d = -13 \quad \text{(معادلة 2)}$$

نطرح المعادلتين:

$$(a + 17d) – (a + 4d) = -13 – 8 \Rightarrow 13d = -21 \Rightarrow d = -3$$

نعوض في المعادلة الأولى:

$$a + 4(-3) = 8 \Rightarrow a – 12 = 8 \Rightarrow a = 20$$

المتتابعة: 20، 17، 14، 11، …

🔷 سابعًا: تحقق من وجود حد معين

🔸 مثال:

هل يوجد حد في المتتابعة: -9، -5، -1، 3، … يساوي 87؟

✅ الحل:

• $a = -9$
• $d = 4$
• نطبق:

$$U_n = -9 + (n – 1) \cdot 4 = 87 \\ (n – 1) \cdot 4 = 96 \Rightarrow n – 1 = 24 \Rightarrow n = 25$$

✔️ نعم، يوجد الحد رقم 25 يساوي 87.

🔸 تحقق آخر:

هل يوجد حد يساوي 333؟

$$333 = -9 + (n – 1) \cdot 4 \\ (n – 1) = \frac{342}{4} = 85.5 \Rightarrow n = 86.5$$

❌ لا، لأن $n$ ليس عددًا صحيحًا.

🔷 ثامنًا: مسائل مركبة تشمل مجهولين ومعادلات

🔸 مثال نهائي:

إذا كانت المتتابعة تحتوي على حدود تحتوي على المتغير $x$ كالتالي:

• $U_1 = x^2 + 1$
• $U_2 = 2x^2 + 1$
• $U_3 = 2x^2 + x + 3$

مطلوب: إيجاد قيمة $x$ بحيث تكون المتتابعة حسابية.

✅ نستخدم قانون الأساس مرتين:

$$U_2 – U_1 = U_3 – U_2 \Rightarrow (2x^2 + 1 – x^2 – 1) = (2x^2 + x + 3 – 2x^2 – 1) \Rightarrow x^2 = x + 2 \Rightarrow x^2 – x – 2 = 0$$

نحل بالتحليل:

$$(x – 2)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 2 أو x = -1$$

🟩 الخلاصة