شرح لموضوع المتتابعة الحسابية والأوساط الحسابية – للصف الخامس العلمي

أعزائي طلبة الصف الخامس العلمي، في هذه المحاضرة الخامسة من الفصل الثاني “المتتابعات”، سنتناول مواضيع في غاية الأهمية تتعلق بالمتتابعة الحسابية، وسنركز على الأسئلة التطبيقية وطريقة استخراج الحدود، وأيضًا سنتعرف على الأوساط الحسابية وكيفية إدخالها بين عددين. سيكون التركيز على أمثلة من تمارين الكتاب، إلى جانب شرح مفصل لطريقة الحل خطوة بخطوة.

أولاً: مراجعة سريعة لتعريف المتتابعة الحسابية

المتتابعة الحسابية هي متتابعة عددية يكون الفرق بين أي حدين متتاليين فيها ثابتًا. هذا الفرق يسمى الأساس (d).

القانون العام للحد النوني في المتتابعة الحسابية:

$$U_n = a + (n – 1)d$$

حيث:

• $U_n$ هو الحد النوني.
• $a$ هو الحد الأول.
• $d$ هو الأساس.
• $n$ هو رقم الحد.

ثانياً: مثال على استخراج حد في المتتابعة الحسابية

السؤال:

في متتابعة حسابية، إذا كان الحد الرابع $U_4 = -1$، وكان حاصل ضرب الحدين الثاني والثالث هو 10، أوجد الحد العاشر.

الخطوات:

1. المعطيات:
   • $U_4 = -1$
   • $U_2 \times U_3 = 10$
2. نكتب الحد الرابع حسب القانون:

   $$U_4 = a + 3d = -1 \quad \text{(معادلة 1)}$$

3. نكتب حدود الثاني والثالث:

   $$U_2 = a + d \quad ; \quad U_3 = a + 2d$$ $$(a + d)(a + 2d) = 10 \quad \text{(معادلة 2)}$$

4. نستخدم المعادلة (1) لحساب a بدلالة d:

   $$a = -1 – 3d$$

5. نعوض قيمة a في المعادلة (2):

   $$(-1 – 3d + d)(-1 – 3d + 2d) = 10 \Rightarrow (-1 – 2d)(-1 – d) = 10$$

6. نستخدم الضرب والتبسيط:

   $$(-1)(-1) + (-1)(-d) + (-2d)(-1) + (-2d)(-d) = 10 \Rightarrow 1 + d + 2d + 2d^2 = 10 \Rightarrow 2d^2 + 3d + 1 = 10 \Rightarrow 2d^2 + 3d – 9 = 0$$

7. نحل المعادلة التربيعية بالتجربة أو القانون العام:

   $$(2d – 3)(d + 3) = 0 \Rightarrow d = \frac{3}{2} \quad \text{أو} \quad d = -3$$

8. نوجد قيمة a لكل من الحالتين:
   • إذا $d = -3$ ⇒ $a = -1 – 3(-3) = -1 + 9 = 8$
   • إذا $d = \frac{3}{2}$ ⇒ $a = -1 – 3\left(\frac{3}{2}\right) = -1 – \frac{9}{2} = -\frac{11}{2}$
9. نحسب الحد العاشر:

   $$U_{10} = a + 9d$$

   • إذا $a = 8, d = -3 \Rightarrow U_{10} = 8 + 9(-3) = 8 – 27 = -19$
   • إذا $a = -\frac{11}{2}, d = \frac{3}{2} \Rightarrow U_{10} = -\frac{11}{2} + 9 \cdot \frac{3}{2} = -\frac{11}{2} + \frac{27}{2} = \frac{16}{2} = 8$

الإجابة:

الحد العاشر له احتمالان:

• $U_{10} = -19$
• $U_{10} = 8$

ثالثاً: سؤال تمارين الكتاب يتضمن حروف (a و b)

السؤال:

إذا كانت المتتابعة:

$$a, 7, …, b, 25$$

هي متتابعة حسابية، وأُعطي أن $b = 5a + 2$. أوجد قيمة كل من $a$ و $b$، وعدد حدود المتتابعة.

الخطوات:

1. نستخدم قانون الأساس:

   $$d = 7 – a = \frac{25 – b}{n-1}$$

2. نحصل على معادلتين:
   • $d = 7 – a$
   • $d = \frac{25 – (5a + 2)}{n – 1} = \frac{23 – 5a}{n – 1}$
3. بما أن $d = d$ ⇒ نساوي الطرفين ونحل المعادلة.
4. بعد التبسيط نحصل على:
   • $a = 4$
   • $b = 5(4) + 2 = 22$
5. نستخدم قانون الحد العام لاستخراج $n$:

   $$U_n = a + (n – 1)d = 25 \Rightarrow 4 + (n – 1)(3) = 25 \Rightarrow n = 8$$

الإجابة:

• $a = 4$
• $b = 22$
• عدد الحدود $n = 8$

رابعاً: الأوساط الحسابية

تعريف:

الأوساط الحسابية هي الحدود التي تقع بين حدين معلومين في متتابعة حسابية. أي أنها الحدود “الوسطية” بين أول وآخر عدد.

ملاحظات:

• الحد الأول: $a$
• الحد الأخير: $U_n$
• عدد الأوساط = $n – 2$
• $n = \text{عدد الأوساط} + 2$

مثال:

أدخل 6 أوساط حسابية بين العددين 10 و38

1. المعطيات:
   • $a = 10$
   • $U_n = 38$
   • عدد الأوساط = 6 ⇒ $n = 6 + 2 = 8$
2. استخدام قانون الحد العام:

   $$U_n = a + (n – 1)d \Rightarrow 38 = 10 + 7d \Rightarrow d = 4$$

3. نكتب المتتابعة:
   • 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38
4. الأوساط الحسابية هي:
   • 14, 18, 22, 26, 30, 34

خامساً: تمرين إضافي

أدخل 6 أوساط حسابية بين 2 و30

• $a = 2$, $U_n = 30$, عدد الأوساط = 6 ⇒ $n = 8$
• نحسب $d$:

  $$30 = 2 + 7d \Rightarrow d = 4$$

• المتتابعة:

  $$2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30$$

• الأوساط الحسابية:

  $$6, 10, 14, 18, 22, 26$$

خلاصة الدرس

1. المتتابعة الحسابية تعتمد على الحد الأول والأساس.
2. يمكن استخراج أي حد باستخدام القانون العام.
3. عند توفر حدين وعدد الأوساط، يمكن استخراج كافة الحدود.
4. الأسئلة التطبيقية تحتاج إلى تنظيم المعطيات، استخدام القوانين الصحيحة، والتعويض الدقيق.