مجموع المتتابعة الحسابية – الصف الخامس العلمي

في هذه المحاضرة السادسة من موضوع المتتابعات، سنغطي مجموع المتتابعة الحسابية بشكل شامل، وسنتناول القوانين، الأمثلة، التمارين، والملاحظات المهمة التي تساعدك على فهم الموضوع وضبطه تمامًا.

أولًا: تعريف مجموع المتتابعة الحسابية

مجموع المتتابعة الحسابية هو حاصل جمع عدد معين من حدود المتتابعة. بدلاً من جمعها يدويًا، نستخدم قانونًا مباشرًا يسهل علينا الحل.

القانون الأساسي للمجموع:

$$S_n = \frac{n}{2} (a + u_n)$$

• $S_n$: مجموع أول $n$ حد من المتتابعة.
• $n$: عدد الحدود.
• $a$: الحد الأول.
• $u_n$: الحد الأخير أو الحد العام (الـ$n$ي).

في حال عدم توفر $u_n$:

نستخدم قانون الحد العام:

$$u_n = a + (n – 1) d$$

ثم نعوض به في قانون المجموع.

ثانيًا: أمثلة محلولة

مثال 1:

أوجد مجموع أول أربعة حدود من متتابعة حسابية حدها الأول $a = 2$ وحدها الرابع $u_4 = 5$.

الحل:

• المطلوب: $S_4$
• المعطيات:
  • $n = 4$
  • $a = 2$
  • $u_4 = 5$

نطبق القانون:

$$S_4 = \frac{4}{2} (2 + 5) = 2 \times 7 = 14$$

الإجابة: 14

مثال 2:

أوجد مجموع المتتابعة: $1, 2, 3, …, 100$

• الحد الأول $a = 1$
• الحد الأخير $u_n = 100$
• نحتاج عدد الحدود $n$

نستخدم القانون:

$$u_n = a + (n – 1) d$$

حيث:

• $u_n = 100$
• $a = 1$
• $d = 1$

$$100 = 1 + (n – 1) \times 1 \Rightarrow n = 100$$

الآن نستخدم قانون المجموع:

$$S_n = \frac{100}{2} (1 + 100) = 50 \times 101 = 5050$$

الإجابة: 5050

مثال 3:

أوجد مجموع $n = 8$ حدود لمتتابعة حسابية:

• الحد الأول $a = -4$
• الحد الثاني = 1

الحل:

نحسب الفرق المشترك أولًا:

$$d = 1 – (-4) = 5$$

نحسب الحد الثامن باستخدام:

$$u_n = a + (n – 1) d = -4 + (8 – 1) \times 5 = -4 + 35 = 31$$

نطبق قانون المجموع:

$$S_8 = \frac{8}{2} (-4 + 31) = 4 \times 27 = 108$$

الإجابة: 108

مثال 4: إثبات رياضي

أثبت أن: مجموع أول $n$ من الأعداد الفردية الموجبة يساوي $n^2$

المتتابعة: $1, 3, 5, …, u_n$

• $a = 1$
• $d = 2$
• $u_n = a + (n – 1) d = 1 + (n – 1) \times 2 = 2n – 1$

نطبق قانون المجموع:

$$S_n = \frac{n}{2}(a + u_n) = \frac{n}{2}(1 + 2n – 1) = \frac{n}{2}(2n) = n^2$$

الإثبات: ✔️

ثالثًا: مسائل تطبيقية

مثال 5:

كم حدًا من المتتابعة: $25, 21, 17, …$ نحتاج حتى يصبح المجموع = -14؟

المطلوب: إيجاد $n$

• $a = 25$
• $d = 21 – 25 = -4$
• $S_n = -14$

نستخدم قانون المجموع:

$$-14 = \frac{n}{2} (2a + (n – 1) d) = \frac{n}{2} (2 \times 25 + (n – 1) \times -4) = \frac{n}{2} (50 – 4n + 4) = \frac{n}{2} (54 – 4n)$$

نضرب الطرفين في 2 للتخلص من المقام:

$$-28 = n (54 – 4n) \Rightarrow -28 = 54n – 4n^2 \Rightarrow 4n^2 – 54n – 28 = 0$$

نحل بالتحليل أو القانون العام. بعد الحل نجد:

$$n = 14 \quad (\text{نأخذ الموجب فقط})$$

الإجابة: 14 حدًا

رابعًا: سؤال ذكي من الكتاب

أوجد مجموع الأعداد الصحيحة المحصورة بين 100 و400 والتي تقبل القسمة على 3

الحل:

أول عدد يقبل القسمة على 3 بعد 100 هو: 102
آخر عدد يقبل القسمة على 3 قبل 400 هو: 399

هذه متتابعة حسابية:

• $a = 102$
• $d = 3$
• $u_n = 399$

نوجد $n$:

$$u_n = a + (n – 1) d \Rightarrow 399 = 102 + (n – 1) \times 3 \Rightarrow 297 = (n – 1) \times 3 \Rightarrow n – 1 = 99 \Rightarrow n = 100$$

نحسب المجموع:

$$S_{100} = \frac{100}{2} (102 + 399) = 50 \times 501 = 25050$$

الإجابة: 25050

خامسًا: ملاحظة مهمة – كيف تعرف العدد يقبل القسمة على 3؟

الطريقة: اجمع الأرقام المكوّنة للعدد. إذا كان الناتج من مضاعفات 3، فالعدد يقبل القسمة.

مثال: هل 561 يقبل القسمة على 3؟

• $5 + 6 + 1 = 12$، و12 من مضاعفات 3، إذًا نعم.

خاتمة

بهذا نكون قد أنجزنا درس مجموع المتتابعة الحسابية بكافة أفكاره، من التعاريف والقوانين إلى الأمثلة والتمارين الصعبة والإثباتات الرياضية.
في المحاضرة القادمة، سنتناول المتتابعة الهندسية. لا تنسوا دعمنا بلايك واشتراك لتستمروا بتلقي كل جديد.