المتتابعة الهندسية | رياضيات الخامس العلمي

في هذه الحصة من مادة الرياضيات للصف الخامس العلمي، ننتقل إلى النوع الثاني من المتتابعات وهو المتتابعة الهندسية. بعد أن أنهينا المتتابعة الحسابية وأوساطها ومجموعها، حان الوقت لفهم خصائص المتتابعة الهندسية، قوانينها، وأهم الأفكار التي تأتي عليها في الأسئلة.

تعريف المتتابعة الهندسية

المتتابعة الهندسية هي متتابعة يُضرب كل حد فيها بعدد ثابت للحصول على الحد التالي.

🔹 الحد الأول (a): هو أول عدد في المتتابعة.
🔹 الأساس (r): هو العدد الذي نضرب به الحد السابق لنحصل على الحد التالي.

ملاحظة مهمة:
في المتتابعة الحسابية كنا نستخدم الطرح أو الجمع، أما في المتتابعة الهندسية فنستخدم الضرب.

كيفية إيجاد الأساس $r$

لحساب الأساس $r$، نقسم أي حد على الحد الذي يسبقه:

$$r = \frac{a_{n+1}}{a_n}$$

مثال: إذا كانت المتتابعة: $3، 9، 27، 81$

نحسب:

$$r = \frac{9}{3} = 3$$

إيجاد حدود المتتابعة الهندسية

لإيجاد حدود المتتابعة يجب أن يتوفر:

1. الحد الأول $a$
2. الأساس $r$

ثم نستخدم الضرب لإيجاد بقية الحدود:

$$a_2 = a_1 \times r \\ a_3 = a_2 \times r \\ a_4 = a_3 \times r \\ …$$

مثال تطبيقي:

إذا كانت المتتابعة الهندسية حدها الأول $a = 64$، وأساسها $r = -\frac{1}{2}$. أوجد الحدود الستة الأولى.

نحسب:

• $a_1 = 64$
• $a_2 = 64 \times -\frac{1}{2} = -32$
• $a_3 = -32 \times -\frac{1}{2} = 16$
• $a_4 = 16 \times -\frac{1}{2} = -8$
• $a_5 = -8 \times -\frac{1}{2} = 4$
• $a_6 = 4 \times -\frac{1}{2} = -2$

إذن: المتتابعة هي
64، -32، 16، -8، 4، -2

أمثلة إضافية:

مثال 1:

أوجد الحدود الخمسة الأولى لمتتابعة هندسية حيث:
$a = \frac{1}{32}$, $r = -2$

نحسب:

• $a_1 = \frac{1}{32}$
• $a_2 = \frac{1}{32} \times -2 = -\frac{1}{16}$
• $a_3 = -\frac{1}{16} \times -2 = \frac{1}{8}$
• $a_4 = \frac{1}{8} \times -2 = -\frac{1}{4}$
• $a_5 = -\frac{1}{4} \times -2 = \frac{1}{2}$

الفرق بين المتتابعة الحسابية والهندسية

قانون الحد العام في المتتابعة الهندسية

يمكنك حساب أي حد باستخدام القانون:

$$a_n = a \times r^{n-1}$$

حيث:

• $a$: الحد الأول
• $r$: الأساس
• $n$: رقم الحد المطلوب

مثال:

أوجد الحد السابع إذا علمت أن $a = -1/4$, $r = 2$

$$a_7 = -\frac{1}{4} \times 2^{6} = -\frac{1}{4} \times 64 = -16$$

أسئلة تدريبية محلولة

السؤال 1:

متتابعة هندسية حدها الأول $27$ وأساسها $-\frac{2}{3}$. أوجد أول 5 حدود.

الحل:

• $a_1 = 27$
• $a_2 = 27 \times -\frac{2}{3} = -18$
• $a_3 = -18 \times -\frac{2}{3} = 12$
• $a_4 = 12 \times -\frac{2}{3} = -8$
• $a_5 = -8 \times -\frac{2}{3} = \frac{16}{3}$

السؤال 2:

إذا كانت $a_n+1 = 2a_n$ و $a = 4$، أوجد الحدود الخمسة الأولى.

الحل:

• $a_1 = 4$
• $a_2 = 4 \times 2 = 8$
• $a_3 = 8 \times 2 = 16$
• $a_4 = 16 \times 2 = 32$
• $a_5 = 32 \times 2 = 64$

ملاحظة هامة:

في بعض الأسئلة، لا يُعطى الأساس $r$ صراحة، ولكن يمكن إيجاده من العلاقة:

$$r = \frac{a_{n+1}}{a_n}$$

ملخص

• المتتابعة الهندسية تعتمد على الضرب وليس الجمع أو الطرح.
• لإيجاد أي حد يجب معرفة الحد الأول والأساس.
• قانون الحد العام هو:

$$a_n = a \times r^{n-1}$$

• استخدم القسمة لإيجاد الأساس: $r = \frac{a_{n+1}}{a_n}$

ختامًا

بهذا نكون قد فهمنا أساسيات المتتابعة الهندسية وطريقة التعامل مع أسئلتها سواء بالحساب اليدوي أو باستخدام القانون العام. في الدروس القادمة، سنتناول موضوع مجموع المتتابعة الهندسية.