المتتابعة الهندسية – درس شامل لطلبة الخامس العلمي

تعريف المتتابعة الهندسية

المتتابعة الهندسية هي متتابعة عددية يكون فيها كل حد ناتج عن ضرب الحد السابق له بعدد ثابت يُسمى الأساس (r).

إذا كان الحد الأول في المتتابعة هو a (ويرمز له غالبًا بـ U₁ أو a)، فإن شكل المتتابعة يكون:

a, ar, ar², ar³, ...

قانون الحد العام في المتتابعة الهندسية

يُستخدم القانون التالي لحساب أي حد في المتتابعة الهندسية:

$$U_n = a \cdot r^{n-1}$$

• $U_n$: الحد المطلوب.
• $a$: الحد الأول.
• $r$: الأساس.
• $n$: رقم الحد.

ملاحظة مهمة: إذا أردت حساب الحد الثالث مثلًا، فإن القانون يكون $U_3 = a \cdot r^2$، أي نطرح 1 من رقم الحد ونرفعه للأساس.

أمثلة محلولة

مثال 1: حساب حد معين من المتتابعة

السؤال: متتابعة هندسية حدها الأول $a = 3$، وحدها الخامس $U_5 = 48$. احسب الحد الثامن.

الحل:

1. نكتب المعطيات:
   • $a = 3$
   • $U_5 = 48$
   • نريد حساب $U_8$
2. نبدأ بإيجاد قيمة الأساس $r$ باستخدام القانون:

   $$U_5 = a \cdot r^{4} \Rightarrow 48 = 3 \cdot r^4 \Rightarrow r^4 = \frac{48}{3} = 16$$

3. نأخذ الجذر الرابع للطرفين:

   $$r = \pm \sqrt[4]{16} = \pm 2$$

ملاحظة: عند أخذ جذر زوجي (تربيعي، رابع، سادس…) يجب وضع موجب وسالب.

4. نحسب الحد الثامن في حالتين:
   • إذا كان $r = 2$:

     $$U_8 = a \cdot r^{7} = 3 \cdot 2^7 = 3 \cdot 128 = 384$$

   • إذا كان $r = -2$:

     $$U_8 = 3 \cdot (-2)^7 = 3 \cdot (-128) = -384$$

مثال 2: إيجاد الحد الأول والأساس من حدين مختلفين

السؤال: متتابعة هندسية حدها الرابع $U_4 = -8$ وحدها السابع $U_7 = -64$. احسب الحد الأول والأساس.

الحل:

1. القانون العام:

   $$U_n = a \cdot r^{n-1}$$

2. من $U_4 = -8$:

   $$-8 = a \cdot r^3 \tag{1}$$

3. من $U_7 = -64$:

   $$-64 = a \cdot r^6 \tag{2}$$

4. نقسم المعادلتين:

   $$\frac{-64}{-8} = \frac{a \cdot r^6}{a \cdot r^3} \Rightarrow 8 = r^3 \Rightarrow r = \sqrt[3]{8} = 2$$

5. نعوض في المعادلة (1):

   $$-8 = a \cdot 2^3 = a \cdot 8 \Rightarrow a = -1$$

مثال 3: تطبيق الجذر الزوجي

السؤال: إذا علمت أن $U_5 = 48$ و $a = 3$، احسب $r$ باستخدام الجذر الزوجي.

الحل:

$$48 = 3 \cdot r^4 \Rightarrow r^4 = 16 \Rightarrow r = \pm 2$$

ملحوظة: عند الجذر الزوجي، يجب أن تأخذ الحالتين: $r = 2$ و $r = -2$.

ملاحظات مهمة

• إذا أردت حساب أي حد، يجب أن تعرف:
  • الحد الأول $a$
  • الأساس $r$
• إذا لم تكن قيمة $r$ معطاة، غالبًا ما يُعطى لك حد آخر لتستنتج منها الأساس.

مثال تطبيقي – استنتاج قيم من معادلتين

السؤال: إذا كان مجموع أول ثلاثة حدود من متتابعة هندسية موجبة يساوي 7، وكان الحد الثالث يساوي 1، احسب الحد السادس.

الحل:

1. المعطيات:
   • $a + ar + ar^2 = 7$
   • $ar^2 = 1$
2. من $ar^2 = 1$، نجد:

   $$a = \frac{1}{r^2}$$

3. نعوض في المعادلة الأولى:

   $$\frac{1}{r^2} + \frac{r}{r^2} + \frac{r^2}{r^2} = 7 \Rightarrow \frac{1 + r + r^2}{r^2} = 7 \Rightarrow 1 + r + r^2 = 7r^2 \Rightarrow 6r^2 – r – 1 = 0$$

4. نحل المعادلة بالتجربة:

   $$(3r + 1)(2r – 1) = 0 \Rightarrow r = \frac{1}{2} \text{ أو } r = -\frac{1}{3}$$

بما أن المتتابعة موجبة، نأخذ $r = \frac{1}{2}$

5. نرجع ونحسب $a$:

   $$a = \frac{1}{r^2} = \frac{1}{\left( \frac{1}{2} \right)^2} = 4$$

6. نحسب $U_6 = a \cdot r^5 = 4 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^5 = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$

مثال 4: إيجاد $a$ و $r$ من مجموع حدين

السؤال: متتابعة هندسية فيها:

• $U_1 + U_2 = -32$
• $U_4 + U_5 = -4$
• المطلوب: حساب $U_7$

الحل:

1. من المعادلة الأولى:

   $$a + ar = -32 \Rightarrow a(1 + r) = -32 \tag{1}$$

2. من المعادلة الثانية:

   $$ar^3 + ar^4 = -4 \Rightarrow ar^3(1 + r) = -4 \tag{2}$$

3. نقسم المعادلة (2) على (1):

   $$\frac{ar^3(1 + r)}{a(1 + r)} = \frac{-4}{-32} \Rightarrow r^3 = \frac{1}{8} \Rightarrow r = \frac{1}{2}$$

4. نعوض في (1):

   $$a(1 + \frac{1}{2}) = -32 \Rightarrow a \cdot \frac{3}{2} = -32 \Rightarrow a = -\frac{64}{3}$$

5. نحسب $U_7 = a \cdot r^6 = -\frac{64}{3} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^6 = -\frac{64}{3} \cdot \frac{1}{64} = -\frac{1}{3}$

خاتمة

تعد المتتابعة الهندسية من أهم المواضيع التي تُبنى عليها أفكار كثيرة في الرياضيات، خاصة في السادس العلمي، ويجب إتقان:

• قانون الحد العام.
• حساب $a$ و$r$ من حدود معلومة.
• حل المعادلات باستخدام الحذف أو القسمة.
• التعامل مع الجذور الزوجية والفردية.
• توحيد المقامات وتبسيط الكسور عند الحاجة.

نصيحة أخيرة: لا تستعجل بحل السؤال، اقرأ المعطيات جيدًا وافهم المطلوب قبل البدء.