المحاضرة الأخيرة – المتتابعة الهندسية و اسئلة الربط (الصف الخامس العلمي)

مقدمة:

مرحبًا بكم طلاب الصف الخامس العلمي في المحاضرة الأخيرة من الفصل الثاني “المتتابعات”، هذه الحلقة تجمع آخر ما تبقى من أفكار الفصل، وتشمل مواضيع الأوساط الهندسية، مجموع المتتابعة الهندسية، المتتابعة اللانهائية، وأخيرًا أسئلة الربط بين المتتابعتين الحسابية والهندسية. هذه الأفكار حاسمة لفهم الفصل بالكامل ولمن يسعى للحصول على الإعفاء.

أولًا: الأوساط الهندسية

تعريف:

إذا أعطاك السؤال حدين: الأول والأخير، وطلب منك إدخال عدد معين من الحدود بينهما بحيث تشكّل متتابعة هندسية، فإن الحدود المدخلة تُسمى أوساطًا هندسية.

خطوات الحل:

1. نستخدم العلاقة: $n = \text{عدد الأوساط} + 2$
2. نطبق قانون الحد العام للمتتابعة الهندسية: $U_n = a \cdot r^{n-1}$ حيث:
   • $a$: الحد الأول.
   • $r$: الأساس.
   • $n$: عدد الحدود (الأوساط + 2).
   • $U_n$: الحد الأخير.
3. نحسب $r$ من المعادلة.
4. نبدأ من الحد الأول، ونضربه بـ $r$ في كل مرة لاستخراج الأوساط.

مثال:

أدخل 4 أوساط هندسية بين 4 و128

• عدد الحدود = 4 + 2 = 6
• $U_6 = 128 = 4 \cdot r^5 \Rightarrow r^5 = 32 \Rightarrow r = 2$

الأوساط هي: 8, 16, 32, 64

ثانيًا: مجموع المتتابعة الهندسية

قانون المجموع:

$S_n = a \cdot \frac{1 – r^n}{1 – r} \quad (r \neq 1)$

مثال:

إذا كان مجموع أول 6 حدود في متتابعة هندسية هو 504، والأساس $r = 2$، فاحسب المتتابعة.

نستخدم القانون: $504 = a \cdot \frac{1 – 2^6}{1 – 2} = a \cdot \frac{1 – 64}{-1} = a \cdot 63 \Rightarrow a = 8$

المتتابعة: 8, 16, 32, 64, 128, 256

ثالثًا: مجموع متتابعة هندسية لانهائية

متى تُستخدم؟

إذا كانت المتتابعة تحتوي على نقاط (…) أي لا نهائية، والأساس $|r| < 1$

القانون:

$S = \frac{a}{1 – r}$

مثال:

$\text{إذا كانت المتتابعة: } 4, 4/10, 4/100, \ldots$

• $a = 4$, $r = \frac{1}{10}$
• $S = \frac{4}{1 – 1/10} = \frac{4}{0.9} = \frac{40}{9}$

رابعًا: أسئلة الربط بين المتتابعة الحسابية والهندسية

مثال تطبيقي 1:

ثلاثة أعداد تشكّل متتابعة حسابية ومجموعها 18. إذا أضفنا 1 و2 و7 لكل حد على الترتيب، تصبح متتابعة هندسية.

1. فرض الحدود الحسابية: $a, a + d, a + 2d$
2. المجموع: $3a + 3d = 18 \Rightarrow a + d = 6 \Rightarrow a = 6 – d$ — (معادلة 1)
3. نضيف: $a + 1, a + d + 2, a + 2d + 7$
4. هذه الآن متتابعة هندسية.
5. نطبق قانون النسبة في المتتابعة الهندسية:

$$\frac{a + d + 2}{a + 1} = \frac{a + 2d + 7}{a + d + 2}$$

6. نعوض من المعادلة 1 ونحل.

النتيجة: تظهر حالتين للحل، كل حالة تعطي 3 أعداد مختلفة.

مثال تطبيقي 2:

ثلاثة أعداد تشكل متتابعة هندسية مجموعها 70. إذا ضُرب الأول والثالث في 4 والثاني في 5 تصبح متتابعة حسابية.

1. فرض الحدود: $a, ar, ar^2$
2. المجموع: $a(1 + r + r^2) = 70 \Rightarrow a = \frac{70}{1 + r + r^2}$ — (معادلة 1)
3. بعد التعديلات:
   • $4a, 5ar, 4ar^2$
4. نحسب الفرق المشترك:
   • $5ar – 4a = 4ar^2 – 5ar$
   • نحل المعادلة الناتجة ونستخدم معادلة (1) لإيجاد $a$

ختامًا:

في هذه المحاضرة، غطينا أصعب أفكار الفصل، من الأوساط الهندسية والمجموع، إلى المتتابعة اللانهائية وأسئلة الربط، وتعلمنا كيفية التحليل والتعويض والاعتماد على أكثر من معادلة لحل سؤال واحد.

تابعونا في الفصل الثالث، وتمنياتنا لكم بالإعفاء العام والنجاح الدائم.

إعداد: الأستاذ مؤمل مهدي