الزوايا في الرياضيات للصف الخامس العلمي

مقدمة الفصل الرابع: دوال الزوايا والزوايا الأساسية

يُعد الفصل الرابع من أهم وأصعب الفصول لطلبة الصف الخامس العلمي، خاصة لأنه يتناول موضوع الزوايا والدوال المثلثية (الساين، الكوساين، التان). وله أهمية كبيرة في السادس العلمي أيضًا، لذلك تم شرح هذا الفصل بطريقة مبسطة وفعّالة تساعد على الفهم والحفظ دون الحاجة إلى الحفظ التقليدي.

أولًا: الزوايا الأساسية

الزوايا الأساسية هي الزوايا المشهورة التي يجب حفظ قياسها بالدرجات وبالراديان:

معلومة مهمة:

• π = 180°
• أي زاوية مكتوبة على شكل π/6 أو π/3 يجب أن تُفهم وتحفظ كقيمة درجة:
  π/6 = 30°
  π/3 = 60°
  π/4 = 45°

ثانيًا: حفظ قيم الساين والكوساين للزوايا 30°، 45°، 60°

زاوية 45° (π/4):

• sin(45°) = 1/√2
• cos(45°) = 1/√2

ملاحظة: القيمة نفسها للساين والكوساين.

الزاويتان 30° (π/6) و60° (π/3):

تم ابتكار طريقة لحفظهما بسهولة تعتمد على أسماء “الكبير والصغير”:

• الساين (sin) = الصغير
• الكوساين (cos) = الكبير

القاعدة الذهبية:

• إذا اجتمع كبير مع كبير أو صغير مع صغير → الناتج = 1/2
• إذا اجتمع كبير مع صغير → الناتج = √3/2

أمثلة تطبيقية:

• cos(60°) = 1/2 (كبير مع كبير)
• sin(30°) = 1/2 (صغير مع صغير)
• sin(60°) = √3/2 (كبير مع صغير)
• cos(30°) = √3/2 (صغير مع كبير)

ثالثًا: الزوايا المحورية وطريقة الصليب

الزوايا المحورية:

هي الزوايا: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°
وتُكتب كالتالي:
0, π/2, π, 3π/2, 2π

طريقة الصليب:

طريقة رسمية وعملية تساعد على حفظ قيم الساين والكوساين للزوايا المحورية.

خطوات تطبيق طريقة الصليب:

1. ارسم صليب (مثل إشارة الزائد).
2. ضع الزوايا في أماكنها:
   • اليمين: 0 → cos = 1, sin = 0
   • الأعلى: π/2 → cos = 0, sin = 1
   • اليسار: π → cos = -1, sin = 0
   • الأسفل: 3π/2 → cos = 0, sin = -1
   • وأخيرًا: 2π نفس الصفر → cos = 1, sin = 0

قاعدة:

• الساين = القيمة المقابلة للزاوية.
• الكوساين = القيمة التي تسبقها بعكس اتجاه عقارب الساعة.

رابعًا: الزوايا الربعية والإشارات

في الدائرة، لدينا 4 أرباع، وكل ربع له إشارات مميزة لقيم الساين والكوساين:

كيف تعرف في أي ربع تقع الزاوية؟

1. من 0° إلى 90° → الربع الأول
2. من 90° إلى 180° → الربع الثاني
3. من 180° إلى 270° → الربع الثالث
4. من 270° إلى 360° → الربع الرابع

الطريقة السريعة:

• مئات = ربع ثاني
• متينات = ربع ثالث
• 300ات = ربع رابع

مثال:

• زاوية 135° → تقع في الربع الثاني
• زاوية 225° → تقع في الربع الثالث
• زاوية 315° → تقع في الربع الرابع

خامسًا: الزوايا الكبيرة وطريقة التقليص

عندما يكون لدينا زاوية مثل:
13π/4 أو 17π/6
فإن البسط يكون كبيرًا، لذا نستخدم طريقة التقليص.

خطوات التقليص:

1. اقسم البسط على ضعف المقام
2. استخرج الباقي من القسمة.
3. عوّض الباقي بدلًا من البسط الأصلي.

مثال:

تبسيط:
13π/4

• المقام = 4 → ضعفه = 8
• نقسم: 13 ÷ 8 = 1 والباقي 5
• إذًا: تصبح الزاوية = 5π/4

الآن نستخدم الطريقة السابقة لمعرفة الربع وقيمة الدالة.

ملاحظات ختامية مهمة

أولًا: الزوايا الزوجية بدون كسر (مثل 2π, 4π, 6π)

• أي عدد زوجي مضروب بـπ → تعود إلى الزاوية 0
  مثال: cos(4π) = cos(0) = 1

ثانيًا: الزوايا الفردية بدون كسر (مثل 3π, 5π, 7π)

• أي عدد فردي مضروب بـπ → تعود إلى الزاوية π
  مثال: sin(5π) = sin(π) = 0

أسئلة تدريبية

السؤال 1:

أوجد قيمة:
cos(5π/6)

• الزاوية = 5π/6 → 5×30 = 150 → ربع ثاني
• الكوساين في الربع الثاني = سالب
• الزاوية 30 → cos(30) = √3/2
• الجواب = −√3/2

السؤال 2:

أوجد قيمة:
sin(13π/4)

• زاوية كبيرة → نستخدم التقليص:
• 13 ÷ 8 = 1 والباقي 5 → تصبح: sin(5π/4)
• 5 × 45 = 225 → ربع ثالث → sin = سالب
• sin(45) = 1/√2
• الجواب = −1/√2

خلاصة

يتطلب فهم هذا الفصل التدرب المستمر على القيم والزوايا والإشارات. ولكن باستخدام طرق مبتكرة مثل “الكبير والصغير” و”طريقة الصليب” و”التقليص”، يمكن للطالب أن يتقن الزوايا بسهولة ويحصل على درجات ممتازة. استمروا بالتدرب، ولا تعتمدوا على الحفظ فقط، بل افهموا المنطق وراء كل خطوة.