الفصل الرابع: الدوال المثلثية والزوايا – شرح مفصل

يُعتبر هذا الفصل من أكثر الفصول تحديًا لطلبة الصف الخامس العلمي، لكن مع التنظيم والفهم الصحيح سيكون من أسهلها بإذن الله. يتناول الفصل موضوع الزوايا، الدوال المثلثية الأساسية (الجيب، الجيب التمام، الظل)، الزوايا السالبة، الزوايا المنتسبة، المتطابقات الأساسية، علاقات ضعف ونصف الزاوية، وقوانين الجمع والطرح.

التعاريف المهمة:

• الدوال المثلثية الأساسية:
  • الجيب (Sine): ‏sin(θ)‏
  • الجيب التمام (Cosine): ‏cos(θ)‏
  • الظل (Tangent): ‏tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)
• الدوال المقلوبة:
  • السك (Secant): ‏sec(θ) = 1/cos(θ)
  • الكوسيكن (Cosecant): ‏csc(θ) = 1/sin(θ)
  • الكتان (Cotangent): ‏cot(θ) = 1/tan(θ) = cos(θ)/sin(θ)

الإشارات في الأرباع:

ملاحظات هامة:

• إذا كانت الزاوية فردية (مثل 21) بدون دالة، الناتج يكون π.
• إذا كانت الزاوية زوجية (مثل 60) بدون دالة، الناتج يكون 0.
• عند تحويل الزاوية السالبة، يتم أخذ ضعف المقام وإضافته للبسط حتى تصبح موجبة.
• عند إعطائك زاوية عددية مثل (66)، يمكن تحويلها إلى صيغة π بضربها في ‎7/22π.

أهم القوانين المستخدمة:

العلاقة الذهبية:

$$\sin^2(θ) + \cos^2(θ) = 1$$

• ومنها نستنتج:
  • $\sin^2(θ) = 1 – \cos^2(θ)$
  • $\cos^2(θ) = 1 – \sin^2(θ)$

العلاقة الفضية (ضعف الزاوية):

• $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$
• $\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)$

نصف الزاوية:

• $\sin(x) = \sqrt{\frac{1 – \cos(2x)}{2}}$
• $\cos(x) = \sqrt{\frac{1 + \cos(2x)}{2}}$

الزوايا المنتسبة:

الزوايا المنتسبة تكون على الشكل:

• في الربع الثاني:
  $\theta = 180^\circ – \alpha$ أو $\theta = 90^\circ + \alpha$
• في الربع الثالث:
  $\theta = 180^\circ + \alpha$ أو $\theta = 270^\circ – \alpha$
• في الربع الرابع:
  $\theta = 360^\circ – \alpha$ أو $\theta = 270^\circ + \alpha$
• ملاحظة: التعبير بزاوية 90° أو 270° يُغير نوع الدالة (مثلًا: sin تتحول إلى cos).

أمثلة محلولة:

مثال (1): إذا كانت الزاوية في الربع الثاني، وكانت ‏sin(θ) = 3/5،‏ جد:

• cos(θ)
  باستخدام العلاقة الذهبية:

  $$\cos^2(θ) = 1 – \sin^2(θ) = 1 – (9/25) = 16/25 \Rightarrow \cos(θ) = -4/5 \quad (\text{لأن الزاوية في الربع الثاني})$$

• tan(θ)

  $$\tan(θ) = \frac{\sin(θ)}{\cos(θ)} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$$

مثال (2): تحويل الزاوية السالبة

جد القياس الرئيسي للزاوية: ‏$-15\pi/4$‏

• المقام = 4 → نأخذ ضعف المقام = 8
• نضيف 8 للبسط حتى يصبح موجب:

  $$-15 + 8 = -7,\quad -7 + 8 = 1 \Rightarrow \text{الزاوية الجديدة: } \frac{\pi}{4}$$

مثال (3): إذا كان $\tan(θ) = 7/3$ والزواية في الربع الثالث، جد:

• sec(θ):

  $$\sec^2(θ) = 1 + \tan^2(θ) = 1 + \frac{49}{9} = \frac{58}{9} \Rightarrow \sec(θ) = -\frac{\sqrt{58}}{3} \quad (\text{لأن cos سالب في الربع الثالث})$$

• cos(θ):

  $$\cos(θ) = \frac{1}{\sec(θ)} = -\frac{3}{\sqrt{58}}$$

• sin(θ):
  من العلاقة الذهبية، نحسب:

  $$\sin^2(θ) = 1 – \cos^2(θ) = 1 – \frac{9}{58} = \frac{49}{58} \Rightarrow \sin(θ) = -\frac{7}{\sqrt{58}} \quad (\text{لأن sin سالب في الربع الثالث})$$

• csc(θ):

  $$\csc(θ) = \frac{1}{\sin(θ)} = -\frac{\sqrt{58}}{7}$$

• cot(θ):

  $$\cot(θ) = \frac{1}{\tan(θ)} = \frac{3}{7}$$

سؤال متكرر بالامتحانات:

أثبت صحة المتطابقة:

$$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$$

الحل:
هذه هي العلاقة الذهبية وهي متطابقة صحيحة لجميع قيم $x$.

أسئلة سريعة وأجوبتها:

• ما علاقة sec بالدوال الأخرى؟
  ‏sec(θ) = 1/cos(θ)
• ما علاقة cot بالدوال الأخرى؟
  ‏cot(θ) = 1/tan(θ) = cos(θ)/sin(θ)
• كيف أعرف ربع الزاوية؟
  • بين 0° و90° → الربع الأول
  • بين 90° و180° → الثاني
  • بين 180° و270° → الثالث
  • بين 270° و360° → الرابع

الخلاصة:

هذا الفصل يتطلب حفظًا وفهمًا دقيقًا للعلاقات والدوال الأساسية. راجع العلاقات الذهبية والفضية باستمرار، وتمرن على التمارين التطبيقية، خصوصًا عند التعامل مع الزوايا السالبة والزوايا المنتسبة.