الدوال المثلثية – الزوايا الأساسية والزوايا الكبيرة (الخامس العلمي)

مقدمة الفصل الرابع: الدوال الدائرية

يُعد الفصل الرابع من أهم وأصعب فصول مادة الرياضيات للصف الخامس العلمي، نظرًا لتعلقه بالدوال الدائرية (المثلثية) التي تُستخدم بكثرة في السادس العلمي أيضًا. يتضمن هذا الفصل مفاهيم متعددة مثل الزوايا، الجيب (Sine)، الجيب التمام (Cosine)، وظل الزاوية (Tangent)، وهو يمثل الأساس للتعامل مع الزوايا المثلثية.

أولًا: الزوايا – تعريف وطرق كتابتها

كتابة الزاوية

تُكتب الزوايا بطريقتين:

1. بالدرجات (Degree) مثل: 30°, 90°, 180°.
2. بالراديان (Radian) باستخدام “π” مثل:
   • π/6 = 30°
   • π/4 = 45°
   • π/3 = 60°
   • π/2 = 90°
   • π = 180°

العلاقة بين الراديان والدرجة

$\pi = 180^\circ$ فبالتالي:

• π/6 = 30°
• π/3 = 60°
• π/4 = 45°
• π/2 = 90°
• 3π/2 = 270°
• 2π = 360°

ثانيًا: الزوايا الأساسية (الساين والكوساين)

الزوايا الأساسية:

طريقة “الكبير والصغير”

لفهم العلاقة بين القيم بدون حفظ:

• اعتبر الزاوية الأكبر (60°) “كبير”، والأصغر (30°) “صغير”.
• ساين = صغير، كوساين = كبير (من عدد المقاطع اللفظية).
• إذا التقى كبير مع صغير (أو العكس): الناتج √3/2.
• إذا التقى كبير مع كبير أو صغير مع صغير: الناتج 1/2.

مثال تطبيقي:

• $\sin(30^\circ) = \text{صغير × صغير} = \frac{1}{2}$
• $\cos(60^\circ) = \text{كبير × كبير} = \frac{1}{2}$
• $\cos(30^\circ) = \text{كبير × صغير} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ثالثًا: الزوايا المحورية (طريقة الصليب)

هي زوايا تقع على المحاور الأساسية:

• 0° (0 أو 2π)
• 90° (π/2)
• 180° (π)
• 270° (3π/2)
• 360° (2π)

طريقة الصليب:

ارسم صليب:

• ضع الصفر في المنتصف.
• الأعلى = +1، الأسفل = -1.
• ما يقابل الزاوية هو قيمة الـ sine.
• ما يلي الزاوية في اتجاه عكس عقارب الساعة هو قيمة الـ cosine.

رابعًا: الزوايا الربعية والإشارات

تُقسم الزوايا إلى 4 أرباع:

• الربع الأول (0° – 90°):
  Sine (+), Cosine (+)
• الربع الثاني (90° – 180°):
  Sine (+), Cosine (-)
• الربع الثالث (180° – 270°):
  Sine (-), Cosine (-)
• الربع الرابع (270° – 360°):
  Sine (-), Cosine (+)

قاعدة حفظ الإشارات:

$\text{موجب موجب | سالب موجب | سالب سالب | موجب سالب}$

خامسًا: طريقة تحديد ربع الزاوية من قيمتها

• الزاوية بين 0° – 90° → الربع الأول
• الزاوية بين 90° – 180° → الربع الثاني
• الزاوية بين 180° – 270° → الربع الثالث
• الزاوية بين 270° – 360° → الربع الرابع

سادسًا: الزوايا الربعية – كيف نحلها؟

إذا أعطيت مثلًا: $\cos\left(5\pi/4\right)$

• الزاوية الأصلية: π/4 (أي 45°)
• الرقم 5 يجعلها زاوية أكبر → نحدد موقعها: $45 \times 5 = 225^\circ \rightarrow \text{ربع ثالث}$
• الإشارة في الربع الثالث: كوساين = سالب
• القيمة الأصلية للزاوية = 1/√2
• إذن:
  $\cos\left(5\pi/4\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

سابعًا: الزوايا الكبيرة – طريقة التقليص

تعريف:

الزوايا الأكبر من 2π (أو 360°) تُدعى الزوايا الكبيرة، مثل: $\sin\left(\frac{13\pi}{4}\right)$

خطوات الحل بطريقة التقليص:

1. نأخذ الرقم في البسط (مثلاً: 13).
2. نقسمه على ضعف المقام (4 × 2 = 8): $13 ÷ 8 = 1 \text{ والباقي } 5$
3. نستبدل 13 بالرقم المتبقي (5): $\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)$
4. الآن هي زاوية ربعية، ويمكن حلها بالطريقة العادية.

مثال تطبيقي آخر:

$\cos\left(\frac{17\pi}{6}\right)$

• 17 ÷ (2×6 = 12) = 1 والباقي 5
• إذًا:
  $\cos\left(\frac{17\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)$
• 5π/6 هي زاوية في الربع الثاني.
• الكوساين في الربع الثاني = سالب.
• الزاوية الأساسية = 30° → Cos(30°) = √3/2
• الناتج:
  $\cos\left(\frac{17\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

الخلاصة:

• يجب حفظ الزوايا الأساسية (30°, 45°, 60°) وقيم الساين والكوساين لها.
• الزوايا المحورية تُحل بطريقة الصليب.
• الزوايا الربعية تُحدد من مدى الزاوية ثم يُحدد الإشارة حسب الربع.
• الزوايا الكبيرة تُحل بطريقة التقليص، وتُرجع إلى زوايا معروفة.
• الأساليب المبتكرة مثل الكبير والصغير، وطريقة الصليب، وطريقة التقليص تُسهل الفهم وتقلل من الحفظ العشوائي.